Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 68

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 79 >> Следующая


Из равенства расстояний вершин икосаэдра от центра куба О следует равенство расстояний центров его граней от центра этого же куба. Поэтому построенный при помощи данного икосаэдра додекаэдр можно разложить на двенадцать равных правильных пятиугольных пирамид с общей вершиной О и с основаниями, которые являются гранями этого додекаэдра. Отсюда следует, что все двугранные углы его равны между собой.

Центры граней правильного додекаэдра в свою очередь являются вершинами правильного икосаэдра.

Таким образом, при помощи куба мы построили остальные правильные многогранники. Шесть диагональных плоскостей симметрии куба, как вытекает из построения, являются плоскостями симметрии тетраэдра и октаэдра и три плоскости симметрии куба, параллельные его граням, являются плоскостями симметрии октаэдра, икосаэдра и додекаэдра. Так как эти три плоскости попарно перпендикулярны друг другу, то произведение отражений от них является отражением от центра куба (§ 66). Следовательно, центр куба является центром симметрии построенных нами октаэдра, икосаэдра и додекаэдра.

Легко решить обратную задачу: по данному ребру правильного многогранника построить этот многогранник. Для этого надо выразить ребро куба через ребро соответствующего правильного многогранника, построить куб, а после этого построить указанным способом искомый многогранник.

Определяется ли полностью правильный многогранник данного типа ребром? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Правильные многогранники одного типа равны, если равны их ребра.

Пусть дан правильный многогранник F определенного типа с ребром а (например, икосаэдр). Построим при помощи куба правильный многогранник F' того же типа и с тем же ребром. Очевидно, многогранники F и F' изоморфны (§ 67). Так как, кроме того, грани их равны, то по теореме Коши многогранники FnF' либо равны, либо зеркально

230

равны. Так как многогранник F1 как мы видели выше, имеет плоскость симметрии, то он зеркально равен самому себе. Поэтому многогранники FuF' равны.

§ 71. Симметрия правильных многогранников

Как мы видели выше, все правильные многогранники имеют плоскости симметрии. Все они, исключая тетргэдр, имеют центр симметрии. Из способа построения октаэдра следует, что плоскости симметрии куба (§ 61) являются плоскостями симметрии октаэдра. Следовательно, октаэдр имеет девять плоскостей симметрии: три плоскости, каждая из которых содержит по четыре ребра (соответствуют плоскостям симметрии куба, параллельных его граням), и шесть плоскостей, каждая из которых перпендикулярна двум ребрам и проходит через две вершины (соответствуют диагональным плоскостям симметрии куба).

Плоскость симметрии икосаэдра проходит через два его параллельных ребра. На чертеже 202 такими ребрами являются ребра AB и А'В'. Плоскость, проходящая через эти ребра, является плоскостью симметрии куба и построенного при помощи его икосаэдра. Так как икосаэдр имеет 30 ребер, то отсюда следует, что он имеет 15 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через два параллельных ребра и перпендикулярна двум параллельным ребрам (плоскость, проходящая через ребра AB и А'В\ перпендикулярна ребрам CD и CD').

При каждом преобразовании икосаэдра самого в себя центры его граней преобразуются друг в друга. Поэтому плоскости симметрии икосаэдра являются плоскостями симметрии соответствующего ему додекаэдра. Тем же способом докажем, что плоскости симметрии додекаэдра являются плоскостями симметрии соответствующего ему икосаэдра (т. е. такого икосаэдра, вершины которого являются центрами граней додекаэдра). Отсюда следует, что додекаэдр имеет тоже 15 плоскостей симметрии, каждая из которых пройдет через два параллельных ребра и будет перпендикулярна двум другим ребрам.

Таким же путем установим, что икосаэдр и додекаэдр имеют одинаковое количество осей симметрии, то же относится к кубу и октаэдру.

Произведение отражений от двух плоскостей симметрии многогранника дает поворот (§ 62) вокруг линии их пересе-

231

чения, при котором данный многогранник самосовмещается. Следовательно, линия пересечения плоскостей симметрии правильного многогранника является его осью симметрии. Если по прямой пересекаются п плоскостей симметрии, то она будет являться осью симметрии п-го порядка.

Из сказанного выше можно заключить, что плоскости симметрии правильного многогранника пересекаются по прямым, проходящим либо через вершины его, либо через центры граней, либо через середины ребер. Поэтому оси симметрии правильного многогранника, имеющего центр симметрии, пройдут также либо через вершины, либо через центры граней, либо через середины его ребер (тетраэдр не имеет центра симметрии; ось симметрии его, проходящая через вершину, проходит также через центр его противоположной грани).

Найдем оси симметрии икосаэдра. В вершинах А'и В его (черт. 202) пересекаются пять плоскостей симметрии. Следовательно, прямая А 'В — ось симметрии пятого порядка. Так как икосаэдр имеет 12 вершин, то он имеет 6 осей симметрии пятого порядка.
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed