Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем теперь к октаэдру.
Треугольник, вершины которого являются центрами трех граней куба с общей вершиной, будет правильным (черт. 200). Поэтому многогранник, поверхность которого является соединением всех таких треугольников, также будет правильным. Для него т = 3 и k = 4, т. е. полученный много-
225
гранник представляет правильный октаэдр (восьмигранник). Ребро его равно , где а — ребро куба.
Из способа построения октаэдра следует, что расстояние центра куба от каждой вершины октаэдра равно у. Построенный октаэдр можно разложить на восемь равных правильных треугольных пирамид с общей вершиной в точке О и с основаниями, являющимися гранями этого октаэдра. Отсюда следует, что все двугранные углы октаэдра равны между собой.
Пользуясь кубом, построим теперь правильный икосаэдр (двадцатигранник). Проведем для этого в каждой грани куба по отрезку, соединяющему середины двух параллельных сторон данной грани. Эти отрезки построим так, чтобы те из них, которые лежат в параллельных гранях, были
Черт. 201
параллельны, а те из них, которые лежат в смежных гранях, были перпендикулярны между собой. На чертеже 201 таковыми являются отрезки MN и ЛГЛҐ, PQn P'Q', KL и К' L\ Возьмем два отрезка MN, KL, лежащие в смежных гранях куба. Найдем на отрезке MN точки А и В и на отрезке KL точки ChD так, чтобы:
1) AB = CD = AC = AD1
2) AM = BN = КС = LD.
226
Пусть ребро куба равно а и пусть х — длина отрезка CD. Соединим середину E отрезка CD с точками M и А я рассмотрим Л AME. Очевидно, что угол при вершине M этого треугольника прямой. Из условий, которым должны удовлетворять точки А, В, С и D, следует, что
AM = ~.
Так как Л ACD должен быть равносторонним, то AE — его высота, и поэтому
Кроме того, ME = у . По теореме Пифагора находим: AE2 = EM2 + MA2.
Отсюда:
з*2
4
_ а2 (а -
-а:)2
* = Т(/Б -1), ЛМ =1(3--)/-5).
Положение точек А, В, С и D на отрезках MN и /5CL определено. На отрезках PQ, M'N', К'L' и P'Q' возьмем соответственно точки F и Н, А' я В', С и D', F' и Я', удовлетворяющие тем же условиям.
Существует пять рав-ностор он ни X тр еу гол ь ни -ков с общей вершиной А и с остальными вершинами в найденных точках. Для данного чертежа это треугольники ACD, ADF, AFB, ABF' и AF'С. Тоже справедливо для любой другой подобной ТОЧКИ. Построив все такие равносторонние треугольники, получим правильный многогранник, для которого т = з и k = 5 (черт. 202). Следовательно, этот многогранник является правильным икосаэдром
Черт. 202
227
Расстояния центра куба О от всех вершин построенного икосаэдра одинаковы. Поэтому данный икосаэдр можно разложить на двадцать равных правильных треугольных пирамид с общей вершиной О и с основаниями, которые являются гранями этого икосаэдра. Отсюда следует, что все двугранные углы его равны между собой. Из равенства двугранных углов икосаэдра в свою очередь следует, что расстояния между несовпадающими вершинами смежных граней его равны между собой (например, BD = FF'), каждое из этих расстояний равно отрезку FF', который в свою очередь равен ребру куба.
Лемма. Пусть даны точки А и В. Точки M1 и M2, для которых выполнены условия:
лежат в одной плоскости, перпендикулярной прямой AB.
Доказательство. Пусть M1 и M2 — две любые точки, для которых M1A = M2A и M1B = M2B (черт. 203). Тогда д AM1B = Д AM2B. Поэтому основания высот этих треугольников, проведенных из вершин M1 и M2, совпадут; пусть это будет точка С. Положение ее на прямой AB вполне определено. Точки M1 и M2 будут лежать в плоскости, проходящей через точку С и перпендикулярной к прямой AB.
Вершины С, D, F, В и F' икосаэдра одинаково удалены от вершины Л и от центра куба. На основании леммы заключаем, что они лежат в одной плоскости.
Используем теперь построенный икосаэдр для построения правильного додекаэдра (двенадцатигранника). Центры
пяти граней икосаэдра с общей вершиной А одинаково удалены от этой вершины и от центра куба. Вследствие равен-
M1A = M2A и M1B = M2B,
d
Черт. 204
Черт 203
228
ства двугранных углов икосаэдра расстояния между центрами смежных граней его равны между собой (это расстояние
составляет третью часть отрезка FF', т. е. равно-у). Поэтому центры этих граней являются вершинами правильного пятиугольника (черт. 204). Построив такой пятиугольник для каждой вершины икосаэдра, получим правильный додекаэдр (черт. 205).
На чертеже 206 дана ортогональная проекция правильного додекаэдра на плоскость одной из его граней. Проекции вершин его А, В, С, L расположатся на окружности с цент-
Черт. 205
ром О как вершины правильного десятиугольника, грань MNPQS проектируется без искажения. Легко видеть, что сечение додекаэдра ACPS (в натуре квадрат) проек-
тируется в виде прямоугольника. Отсюда вытекает следующее построение проекции додекаэдра. Строим пра-
229
вильный десятиугольник ABC...KL и соединяем прямыми вершины и центр его, затем проводим прямые, перпендикулярные к отрезку AC и проходящие через его концы. Точки пересечения их с лучами OE и OK дадут две вершины грани MNP QS, пользуясь которыми легко завершить построение.
