Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
4d (s' — k)+2d (ft —2).
Прибавляя к этому результату сумму углов грани Fa ,
221
получим сумму всех плоских углов многогранника Ф': Ad(s' — k) + 2d (k — 2)+2d(k — 2)=Ad(s' — 2).
Проведем теперь подсчет суммы углов многогранника Ф' другим способом. Пусть U11 k2l...1kn— число сторон соответствующих граней этого многогранника. По доказанной в § 67 теореме
К + k2+ ... + kn = 2t'.
Сумма углов первой грани равна 2d(ki — 2), второй 2d (k2 — 2), третьей 2d (ks — 2) и т. д. Сумма всех плоских углов многогранника равна
2d(k1 — 2) x-2d(k2 — 2) + ... + 2d(kn — 2) = =2d Kk1 + k2 +... + kn) — 2/г] = 2d (2f — 2/7) = Ad (t' — n). Отсюда:
Ad (s' — 2) = Ad (t' — я),
или
5' _ 2 = f — n, n + s' — Г = 2. Как показано выше, отсюда получим:
п + s — t = 2.
Легко убедиться на примерах, что теорема Эйлера для невыпуклых многогранников не всегда имеет место без дополнительных ограничений. Например, она неверна для многогранника, изображенного на чертеже 195 6. Для этого многогранника п = 16, s = 16, t = 32.
п + s — t = 0.
Заметим для этого примера, что ломаная AEFH не разбивает поверхность многогранника на две части. Если разрезать ее по этой ломаной, то любые две точки поверхности можно будет по-прежнему соединить ломаной, все точки которой принадлежат поверхности. Если после этого произвести второй разрез по ломаной ABCD1 то и после этого любые две точки поверхности можно будет соединить такой ломаной, минуя разрезы. Например, точку Q грани AEGB можно соединить с точкой P грани AHMD ломаной, переходя от грани к грани следующим образом:
222
AEGB EGIF -> HFIK -> ABKH -> ?tfLC DMLC AHMD.
Любой третий разрез по замкнутой ломаной, состоящей из ребер многогранника, разобьет после этого поверхность многогранника на две части.
Оказывается, что для выпуклого многогранника всякая замкнутая простая ломаная, составленная из его ребер, делит поверхность этого многогранника на две части; для всякого невыпуклого многогранника, обладающего этим свойством, теорема Эйлера справедлива (пример такого многогранника дан на чертеже 194).
Теорема Эйлера справедлива для любого многогранника, изоморфного выпуклому многограннику.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — правильные и равные между собой многоугольники и если число ребер, выходящих из вершины многогранника, одинаково для всех вершин его.
Пусть в данном правильном многограннике: т — число ребер одной грани (т > 2), k — число ребер, выходящих из одной вершины (k > 2), п — число граней, s — число вершин и t — число ребер многогранника. Так как каждое ребро является общей стороной двух граней и соединяет две вершины, то
Решая уравнения 1, 2 и 3 относительно t, п и s получим:
§ 69. Правильные многогранники
тп = 2t, ks = 2t.
(1) (2)
Кроме того, по теореме Эйлера имеем: п + s — t = 2.
(3)
п
2t_ т '
s
2t_ k 9
t =
т ~ к 2
223
Натуральные числа т и k должны удовлетворять неравенству:
і + т-т>°- W
Отсюда получим:
при k = 3 при k = 4
при k = 5
при & > 5
m < 6, /и < 4,
10
m < 3.
Учитывая, что т > 2 и & > 2, имеем следующие решения неравенства (4) и следующие соответствующие им значения п, s и t:
т
k
s
t
I
3
3
4
4
6
Тетраэдр
II
4
3
6
8
12
Гексаэдр (куб;
IH
3
4
8
6
12
Октаэдр
IV
3
5
20
12
30
Икосаэдр
V
5
3
12
20
30
Додекаэдр
Вывод. Могут существовать только пять типов правильных многогранников, которые соответствуют пяти решениям в целых положительных числах уравнений 1—3. Ниже мы покажем, что все эти пять типов правильных многогранников существуют. Наименование каждого из них дано в таблице.
§ 70. Построение правильных многогранников
Простейшим правильным многогранником является правильный гексаэдр (шестигранник), который обычно называется кубом. Существование куба вытекает из возможности его построения.
Построение куба можно провести следующим образом. На плоскости а возьмем квадрат ABCD (черт. 198); построим плоскости, перпендикулярные к плоскости а и проходящие через стороны этого квадрата; на линии пересечения двух таких плоскостей, проходящих через прямые AB и AD, возьмем точку А' так, чтобы AA' = AB9 через нее
224
проведем плоскость ?, параллельную плоскости а. Полученный при взаимном пересечении всех указанных плоскостей многогранник, как легко видеть, является кубом.
Покажем, как при помощи куба можно построить все остальные правильные многогранники, перечисленные в предыдущем параграфе. Этим мы докажем, что каждый из них существует. Начнем с правильного тетраэдра.
Возьмем две скрещивающиеся диагонали граней куба, лежащие в параллельных гранях, и проведем плоскости через каждую из этих диагоналей и концы другой диагонали (черт. 199). Полученный при взаимном пересечении этих плоскостей многогранник ACB'D' являет.
Черт. 198
Черт. 200
ся правильным тетраэдром (четырехгранником). Если а —
ребро куба, то ребро тетраэдра а |/27 Легко показать, что все двугранные углы правильного тетраэдра равны между собой.
