Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема. Число плоских углов многогранника вдвое больше числа его ребер.
Пусть F11 F21 F11 — грани многогранника, и пусть kt — число сторон грани F1. Если / — число ребер многогранника, то
К + &2 + ... + К = t,
потому что каждое ребро является общей стороной двух граней. Так как число плоских углов для каждой грани равно числу ее сторон, то общее число плоских углов равно тоже 2t.
Два многогранника называются изоморфными, если можно установить взаимно однозначное соответствие о между их гранями, при ко- Черт. 1955
тором:
1) соответственные грани имеют одно и то же число сторон;
218
2) двум граням, имеющим общее ребро, соответствуют грани, также имеющие общее ребро;
3) граням, имеющим общую вершину, соответствуют грани, также имеющие общую вершину.
Примером изоморфных многогранников может служить усеченная четырехугольная пирамида и четырехугольная призма.
Приведем без доказательства важную теорему французского математика К о ш и (1813 ) о выпуклых многогранниках.
Теорема Коши. Если каждые две соответственные грани двух изоморфных выпуклых многогранников равны между собой, то данные многогранники либо равны, либо зеркально равны (§ 61).
Теорема Коши выражает свойство «жесткости» выпуклого многогранника. Нельзя менять величину двугранных углов выпуклого многогранника, не изменяя при этом углов и сторон его граней.
§ 68. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников
Теорема. Если п — число граней выпуклого многогранника, s — число его вершин, a t — число его ребер, то
п + s — t = 2.
Доказательство. Возьмем грань F данного многогранника Ф и внутри нее точку S. Пусть S' — точка любой другой грани F''. ОтрезокSS' лежит по одну сторону от любой из остальных граней многогранника. Следовательно, он не имеет общих точек ни с одной из этих граней. Так как Ф — выпуклая фигура, то все внутренние точки отрезка SS' являются внутренними точками многогранника.
На поверхности данного многогранника возьмем еще одну точку тоже не лежащую на грани F. Отрезки SS' и SS" не могут иметь общих точек, кроме точки S. Действительно, если бы эти отрезки имели две общие точки, то один из них оказался бы частью другого, и тогда второй имел бы внутри себя точку поверхности многогранника Ф, что противоречит только что сделанному выводу. Отсюда следует, что отрезки, соединяющие точку S гра-
219
ни F с точками остальных граней, не имеют других общих точек, кроме общего конца S.
Проведем плоскость о, параллельную грани F и расположенную от нее по ту же сторону, что и данный многогранник (черт. 196). Расстояние плоскости а от грани F возьмем таким, чтобы оно было меньше расстояния от плоскости грани F ближайшей к этой плоскости вершины
многогранника, не принадлежащей данной грани. Тогда вершины грани F и остальные вершины многогранника расположатся по разные стороны от плоскости а. Поэтому плоскость а пересечет все грани, смежные с гранью F.
Пусть Fg — сечение многогранника плоскостью а (на чертеже — четырехугольник PQRN). Этим сечением данный многогранник Ф делится на два многогранника. Пусть Ф' один из двух многогранников, который расположен по ту сторону от плоскости а, по которую не расположена грань F.
Очевидно, что число граней многогранника Ф' равно числу граней многогранника Ф. Число вершин и число ребер многогранника Ф', не принадлежащих грани Fa , соответственно равны числу вершин и числу ребер многогранника Ф, не принадлежащих грани F. Изменения в количестве вершин и ребер, следовательно, может произойти только за счет замены грани F гранью^ . Очевидно,
220
что при этом приращение числа сторон равно приращению числа вершин. Если s' — число вершин многогранника Ф', а Ґ — число его ребер, то
s' — s = t' — t.
Следовательно, если теорема Эйлера справедлива для многогранника Ф', то она справедлива и для данного многогранника.
Спроектируем из центра S на грань F0 все остальные грани многогранника Ф'. Как мы видели выше, лучи, выходящие из точки S и проходящие через вершины D Д многогранника Ф', других общих точек не имеют. Поэтому каждая из этих граней спроектируется на грань F0 в одноименный выпуклый многоугольник (черт. 197), и многоугольник F0 окажется разложенным при этом на выпуклые многоугольники, число которых равно п—1 (т. е. числу остальных Черт. 197 граней).
Пусть k — число вершин многоугольника F0 . Тогда внутри этого многоугольника расположится s' — k проекций остальных вершин многогранника, которые будут вершинами многоугольников, лежащих внутри многоугольника F0 .
Так как каждая грань проектируется в многоугольник с тем же числом сторон, то сумма всех плоских углов многогранника Ф' без углов грани FQ равна сумме углов всех многоугольников, на которые оказалась разложенной грань F0. Подсчитаем последнюю.
Сумма всех углов с вершинами внутри многоугольника F0 равна Ы (sr — k). Сумма всех углов с вершинами, совпадающими с вершинами многоугольника FQ , равна сумме углов этого многоугольника, т. е. 2d (k — 2). Отсюда получим искомую сумму углов:
