Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Фигура, представленная чертежом 194, также не является простой многогранной поверхностью, так как она не отвечает условию 1: многоугольник ABCD имеет с мно-
гоугольником EKH общую точку К, которая не является их общей вершиной; многоугольники ABCD и AEK имеют общий отрезок AK1 который не является стороной первого из них (тоже относится к многоугольникам ABCD и KHD). Однако, если мы будем рассматривать многоугольник ABCD как соединение многоугольников ABK и BKDC (для этого проведем отрезок BK)9 то данная фигура будет удовлетворять всем указанным условиям, т. е. будет простой многогранной поверхностью, в которой две смежные грани ABK и BKDC расположены в одной плоскости. Мы скажем, что данная фигура приведена к простой многогранной поверхности.
Ребро многогранной поверхности, не являющееся общей стороной двух граней, называется свободным ребром.
Черт. 193
Черт. 194
215
Совокупность свободных ребер многогранной поверхности называется ее краем.
Простая многогранная поверхность называется замкнутой, если она не имеет свободных ребер.
Будем говорить, что фигура F делит пространство на две области, если все точки, не принадлежащие фигуре F, можно разбить на два класса следующим образом:
1) каждый класс содержит точки;
2) любые две точки одного класса можно соединить ломаной, не имеющей с фигурой F общих точек;
3) никакие две точки разных классов нельзя соединить такой ломаной. Каждый из этих классов составляет одну область.
Аксиома. Всякая плоскость делит пространство на две выпуклые области.
Каждая из этих областей вместе с данной плоскостью называется полупространством. Точки, принадлежащие одной области, считаются лежащими по одну сторону плоскости; точки, принадлежащие разным областям, считаются лежащими по разные стороны этой плоскости.
Теорема. Полупространство является выпуклой фигурой.
Доказательство данной теоремы проводится совершенно так же, как доказательство соответствующей теоремы о полуплоскости (§ 5). Его мы предлагаем провести самостоятельно.
Прежде чем дать определение многогранника, примем следующую аксиому.
Аксиома. Замкнутая простая многогранная поверхность делит пространство на две области; существу-ют прямые, целиком принадлежащие одной области, и не существует лучей, целиком лежащих во второй области.
Первая из этих областей называется внешней, а вторая внутренней относительно данной многогранной поверхности.
Простая замкнутая многогранная поверхность вместе с внутренней областью, определяемой ею, называется многогранником. Точки внутренней области называются внутренними точками многогранника. Грани, ребра и вершины многогранной поверхности называются гранями, ребрами и вершинами многогранника. Саму многогранную поверхность будем называть поверхностью мно-гсгранника.
216
Теорема. Любая прямая, проходящая через внутреннюю точку многогранника, имеет с ним общий отрезок, содержащий данную точку и соединяющий две точки поверхности этого многогранника.
Доказательство этой теоремы представляет буквальное повторение доказательства соответствующей теоремы о многоугольниках (§ 6).
Многогранник называется выпуклым, если по отношению к плоскости, содержащей любую его грань, все вершины, не принадлежащие этой грани, лежат по одну сторону ее.
Из определения следует, что все ребра и грани выпуклого многогранника принадлежат одному полупространству, ограниченному плоскостью, содержащей какую-либо грань этого многогранника. Так как всякая внутренняя точка многогранника принадлежит отрезку, соединяющему две точки поверхности его, то внутренние точки данного выпуклого многогранника принадлежат тому же полупространству.
Итак, выпуклый многогранник принадлежит каждому полупространству, ограниченному плоскостью, содержащей его грань.
Фигура Ф, представляющая пересечение всех таких полупространств, содержит в себе данный выпуклый многогранник F. Если M — внутренняя точка многогранника Ft a N — точка фигуры Ф, не принадлежащая граням этого многогранника, то отрезок MN не пересекает его поверхность (иначе точки M и N не могли бы обе принадлежать одному из данных полупространств). Следовательно, точка N — внутренняя точка многогранника F. Таким образом, мы установили тождественность между фигурами Ф и F. Так как фигура Ф — выпуклая фигура (§ 4), то мы доказали следующее предложение.
Теорема. Выпуклый многогранник является выпуклой фигурой.
В дальнейшем будем рассматривать преимущественно выпуклые многогранники. Примерами их являются куб и тетраэдр, свойства которых и способы построения известны из школьного курса. Примеры невыпуклых многогранников даны на чертежах 195 а и 195 б. Более сложными примерами выпуклых многогранников являются известные из школьного курса призма, пирамида и усе-
217
ченая пирамида, основаниями которых являются выпуклые многоугольники.
Из определения выпуклого многогранника следует, что все грани его являются выпуклыми многоугольниками. Чтобы убедиться в этом, возьмем какую-либо грань F выпуклого многогранника. Пусть AB — какое-либо ребро этой грани, a F'—смежная грань, имеющая с гранью F ребро AB в качестве общей стороны. Плоскости граней F и F' пересекаются по прямой АВ. Так как все вершины грани F1 кроме вершин А и B1 лежат по одну сторону от плоскости F\ то они также лежат в плоскости F по одну сторону от прямой AB. Отсюда следует, что грань F — выпуклый многоугольник. Черт. 195а Углы многоугольников, каждый из которых является гранью многогранника, называются плоскими углами этого многогранника.
