Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 61

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 79 >> Следующая


360° ,

угол поворота ср равен -^—, то ось t называется осью симметрии фигуры F п-го порядка.

Пусть t — ось симметрии порядка п фигуры F. Обозна-

/о 360° гтч

поворот около этой оси на угол ср = -. Тогда

f (F)=F.

Движение /2 является поворотом около той же оси на угол 2 ср, /3 — поворотом на угол Зср; вообще движение fk является поворотом на угол k ср. При k = п угол поворота окажется равным пер, т. е. 360°. Следовательно, fn = /0 — тождественное движение.

Рассмотрим совокупность поворотов /, /2, —\

fn = /0. В эту совокупность входит тождественное движение /0. Движением, обратным повороту fk, является поворот fn~k, так как fk fn-k = fn = /0. Наконец, произведение поворотов fk и fl даст поворот + принадлежащий этой же совокупности (если k + / > п, то k + / = = п + т, где т < п. Тогда fk + 1 = fm + п = fm fn = = fmfo fm)- Отсюда следует, что данная совокупность поворотов образует группу (§ 19). Ее мы назовем группой осевой симметрии фигуры F.

В качестве примера рассмотрим правильную я-угольную пирамиду. Ось, проходящая через вершину пирамиды и центр ее основания, будет, как легко видеть, осью симметрии данной пирамиды п-го порядка.

§ 63. Переносы в пространстве

Теорема. Произведение отражений относительно параллельных плоскостей есть движение, при котором векторы смещения всех точек одинаковы.

205

Пусть s1 — отражение от плоскости g1, a S2 — отражение от плоскости g2, причем g1 H g2 (черт. 183). Рассмотрим преобразование s2s1. Пересечем данные плоскости третьей плоскостью о; отражение от нее обозначим через s. Так как s2 = /0 — тождественное преобразование, то s2s1 = s2s2s1 = s2(ss)s11

Черт. 183

Воспользуемся свойством сочетательности произведения отражений:

s2s1 = (s2s),. (ss1).

Но произведения Ss1 и s2s по доказанной в предыдущем параграфе теореме являются поворотами. Следовательно, преобразование s2s1 является произведением двух движений, и поэтому само есть движение.

Рассмотрим теперь две произвольные точки M и N. Проведем через них плоскость а, перпендикулярно данным плоскостям. Пусть tx и t2—линии пересечения этих плоскостей.

Преобразование s2s1 для точек MnN, как легко видеть, равносильно произведению отражений их в плоскости а сначала от прямой tl9 а затем от прямой t2. Так как t2 \\ tl9 то точки MhNb плоскости g подвергаются переносу, вектор которого, очевидно, равен удвоенному расстоянию между плоскостями g1 и g2 и перпендикулярен им.

Векторы смещений двух произвольных точек оказались равными. В силу транзитивного свойства равенства векторов отсюда следует, что векторы смещений всех точек равны.

Преобразование, при котором векторы смещений всех точек равны, называется переносом. Вектор смещения любой точки называется при этом вектором переноса.

206

В рассмотренном случае вектор переноса равен удвоенному расстоянию между плоскостями g1 и g2, перпендикулярен им и направлен от плоскости g1 к плоскости g2.

Любой перенос мы можем представить как произведение отражений относительно параллельных плоскостей g1 и g2, Эти плоскости мы должны взять перпендикулярно вектору переноса и на расстоянии друг от друга, равном половине его. В силу доказанной теоремы перенос в пространстве является частным случаем движения.

Всякий перенос в пространстве определяет перенос на плоскости, параллельной вектору переноса.

Рассмотрим теперь произведение двух переносов Д и /2. Пусть M и N — две произвольные точки (черт. 184). При переносе Д они отображаются соответственно в точки M1 и N1. При переносе /2 точки M1 и N1 отображаются соответственно в точки M2 и N2. Так как отрезки MM1 и NN1 равны и параллельны, то отрезки MN и M1N1 тоже равны и параллельны. По такой же причине равны и параллельны отрезки M1N1 и M2N2. Отсюда следует, что = M2N2 и MN И M2N2.

Значит, фигура MNN2M2 — параллелограмм и поэтому векторы MM2 ЧеРт- 184 и NN2 равны.

Итак, при преобразовании /2Д векторы смещения любых двух точек равны. Следовательно, /2Д есть перенос. Дополним Л MM1M2 до параллелограмма MM1M2M'.

Так как MM' = M1M2 и M'M2 = MM1, то при преобразовании Д/2 точка M отобразится в ту же точку M2. Следовательно, переносы /2Д и Д/2 одинаковы: /2/1=/1/2-

Заметим, что вектор NN2 называется суммой векторов NN1

и

Итак, мы доказали теорему: произведение двух переносов есть перенос, вектор которого равен сумме векторов данных переносов; произведение переносов обладает свойством переместительности.

207

Всякий перенос / можно представить как произведение двух переносов следующим образом: пусть MM' —

вектор переноса / (черт. 185). Проведем через точку M две произвольные прямые а и Ьу а через точку M' прямые, им параллельные. Получим парал-с лелограмм MM1M''M2. Рассмот-- рим переносы Д и /2 с вектора-

• Черт. 185 ми MM1 и MM2. По доказан-

ному выше / = /2Д. Будем говорить в этом случае, что перенос / разложен на переносы Z1 и /2.

§ 64. Движение с неподвижной точкой
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed