Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
M — произвольная точ-
M' принадлежит плоскости а. Следовательно, любая точка плоскости а отображается в точку этой же плоскости, т. е. плоскость а отображается сама в себя.
Итак, если мы имеем поворот / относительно оси t, то любая плоскость, перпендикулярная t, отображается сама в себя. Поэтому поворот / относительно оси t для любой плоскости а, перпендикулярной оси поворота, есть движение на этой плоскости (§ 19).
Как выяснено выше, кроме точки О, на плоскости а не существует других неподвижных точек. Рассматривая различные движения на плоскости (§ 27), мы видим, что таким свойством обладает только поворот на плоскости. Найдем угол этого поворота. Пусть / и /' — лучи, по которым пересекаются полуплоскости X и X' с плоскостью а. Так как /(/) = Г, то ориентированный угол ср = ^ (I, V) является этим углом поворота.
Итак, поворот в пространстве для всякой плоскости, перпендикулярной оси поворота, является поворотом вокруг точки пересечения данной оси с этой плоскостью, угол его ср равен линейному углу двугранного угла, образован-
ка плоскости а, то МО j_ t. Поэтому при повороте точка M отображается в такую точку M', что ЛГО _L t (при движении прямой угол отображается в равный ему угол, т. е. тоже в прямой). Так как все перпендикуляры к оси t, проходящие через точку О, лежат в одной плоскости , перпендикулярной этой оси, то точка
Черт. 180
202
ного полуплоскостями X и X', и ориентирован от первой полуплоскости ко второй.
В дальнейшем угол ср мы будем называть углом поворота, понимая при этом поворот как движение в пространстве.
Поворот в пространстве определяет поворот на плоскости а. Очевидно, и обратное: поворот на плоскости а определяет поворот в пространстве. Так как поворот на плоскости полностью определяется центром поворота и углом поворота, то отсюда следует, что поворот в про-стр а нстве on р едел яетс я осью поворота и углом поворота. Следовательно, вместо полуплоскостей X и X' для определения поворота мы можем задать любые две другие полуплос- Черт. 181 кости, выходящие из прямой t и образующие двугранный угол той же величины.
Рассмотрим важный частный случай. Пусть угол поворота является развернутым: ср = 180°. В этом случае полуплоскости X и X' принадлежат одной плоскости ? и являются взаимно дополнительными (черт. 181). В плоскости
? мы имеем отражение от
прямой t, а в плоскости а — отражение от точки О.
В рассматриваемом случае мы будем называть поворот отражением от прямой t. При отражении от прямой t любая точка M отображается в такую точку M', что отрезок MM' перпендикулярен этой прямой и делится ею пополам.
Теорема. Произведение двух отражений относительно пересекающихся
Черт 182 плоскостей g1 и g2 есть по-
203
ворот; линия пересечения t этих плоскостей есть ось поворота, а угол поворота равен удвоенному линейному углу двугранного угла, образованного плоскостями O1 и о2.
Пусть S1 — отражение от плоскости O1, a S2 — отражение от плоскости а2 (черт. 182). Рассмотрим преобразование S2S1. Пусть X1 — полуплоскость плоскости O1, ограниченная прямой /. Тогда имеем:
S1 (X1) = X1, S2(X1) =)/lt
где Х\ — полуплоскость, симметричная полуплоскости X1 относительно ПЛОСКОСТИ O2.
Проведем плоскость а, перпендикулярную прямой t. Пусть I1 и I2 прямые, по которым пересекаются плоскости O1 и о2 с плоскостью а. Возьмем произвольную точку M плоскости а. Так как а х O1, то при отражении этой точки от плоскости O1 мы получим точку M1, принадлежащую плоскости а. По такой же причине (а ± о2) точка M1 при отражении от о2 отобразится в точку M', принадлежащую тоже плоскости а. Итак, любая точка плоскости а отображается в точку той же плоскости. Легко видеть, что преобразование точки M в точку M' на плоскости <х равносильно произведению отражений этой точки от прямых I1 и I2. Так как произведение двух отражений на плоскости от пересекающихся прямых есть поворот, то, следовательно, преобразование S2S1 в плоскости а определяет поворот. Центром его является точка О, в которой прямая / пересекается с плоскостью а; углом поворота является удвоенный угол — ^(I1, I2), т. е. удвоенный линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями O1 и о2 при пересечении.
Отсюда следует, что преобразование s2s і является поворотом с осью t и с указанным выше углом поворота.
Теорема. Всякий поворот в пространстве можно представить как произведение двух отражений от пересекающихся плоскостей.
Доказательство. Пусть поворот задан осью t и углом поворота ср. Возьмем произвольную плоскость O1, проходящую через прямую t, и плоскость о2, которая удовлетворяет следующим условиям:
а) она пересекается с плоскостью O1 по прямой t\
204
б) линейный угол образованного при этом двугранного
угла равен -|-;
в) ориентация этого линейного угла от плоскости o1 к плоскости а2 совпадает с ориентацией угла поворота ср.
Тогда по доказанной теореме произведение отражения от плоскости g1 на отражение от плоскости с2 представляет заданный поворот.
Если при повороте около оси t на некоторый угол фигура F отображается сама в себя, то она называется симметричной относительно этой оси. Если при этом