Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 59

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 79 >> Следующая


s(M') = М.

Следовательно, преобразование, обратное отражению от плоскости, совпадает с этим отражением:

s —1 = s;

s2 = /о (тождественноепреобразование).

Отражение от плоскости не является движением. В самом деле, из свойств движения (§ 19) следует, что если при движении три точки, не лежащие на одной прямой, отображаются сами в себя, то оно является тождественным преобразованием. При отражении от плоскости а все точки ее отображаются сами в себя, но оно не является тождественным преобразованием.

Теорема. При отражении от плоскости отрезок отображается в равный ему отрезок.

Пусть дан отрезок AB и плоскость а (черт. 175). Проведем через него плоскость а, перпендикулярную плоскости а. Пусть t — линия их пересечения. Очевидно, что отражение отрезка AB от плоскости а равносильно отражению его в плоскости а от прямой і. Отсюда следует, что AB отобразится в отрезок А'В' и А'В' = AB.

Следствие. При отражении от плоскости треугольник отображается в равный ему треугольник.

Пусть вершины Л ABC при отражении от плоскости отображаются в точки А', В' и С (черт. 176). По доказанному стороны его отображаются в равные отрезки:

А'В' = АВ\ A 'C = AC и В'С = ВС.

Возьмем внутреннюю точку M треугольника ABC1 проведем через нее прямые AM и BM1 пересекающие стороны ВС и AC соответственно в точках К и L. Отрезки AK и BL отобразятся в отрезки А'К' и В'U1 принадлежащие А А'В'С. Точка M отобразится в точку М\ в которой пересекаются прямые А'К' и В'L'. Значит, точка M'

199

принадлежит Д А'В'С'. Итак, каждая внутренняя точка Д ABC отображается во внутреннюю точку Д А'В'С, и обратно. Следовательно,

Кроме того, Д ABC = Д А'В'С в силу равенства соответственных сторон этих треугольников.

Отсюда, далее, следует, что при отражении от плоскости любому многоугольнику соответствует равный ему многоугольник, а любому углу — равный ему угол.

Если фигуре F при отражении от плоскости а, соответствует фигура F', то эти фигуры называются симметричными относительно данной плоскости.

Симметричные фигуры относительно плоскости могут оказаться, как это было показано выше, равными. Это значит, что, помимо отражения S, существует движение /, отображающее одну из этих фигур в другую. Этого может и не быть. Приведем пример симметричных относительно плоскости фигур, но неравных между собой.

Возьмем треугольную пирамиду SABC1 ребра которой попарно неравны между собой и которая стоит своим осно-

так как среди остальных ребер пирамид нет равных ребру AB или ребру ВС (значит, каждое из этих ребер не может при движении отобразиться в какое-либо другое ребро). Отсюда следует, что / должно быть тождественным движением, что невозможно.

Итак, все соответственные грани пирамид SABC и S'ABC равны между собой, но сами эти пирамиды являются неравными фигурами.

Две фигуры FnF* называются зеркально равными, если существует движение, отображающее одну из них в фигуру, симметричную другой относительно неко-

S(AABC) = А А'В'С

Черт. 177

ванием ABC на плоскости о (черт. 177). Легко видеть, что при отражении ее от плоскости о получим пирамиду S'ABC, неравную данной пирамиде. Действительно, если существует движение/, отображающее пирамиду SABC в пирамиду S'ABC, то точки А, В и С должны при этом отобразиться сами в себя,

200

торой плоскости. Рассмотренные неравные между собой пирамиды являются зеркально равными.

Фигура F называется симметричной относительно плоскости а, если при отражении от этой плоскости она отображается сама в себя. Плоскость а в таком случае называется плоскостью симметрии фигуры.

Примером такой фигуры может служить многогранник, состоящий из двух пирамид SABC и S'ABC в рассмотренном выше примере.

Черт. 178 Черт. 179

Куб имеет девять плоскостей симметрии (черт. 178). шесть плоскостей симметрии проходят через параллельные ребра, не принадлежащие одной грани, и три плоскости симметрии проходят через центр куба и перпендикулярны ребрам (доказать).

Правильный тетраэдр имеет шесть плоскостей симметрии (черт. 179), каждая из которых проходит через ребро и середину другого ребра, не лежащего с первым в одной грани (доказать).

§ 62. Повороты в пространстве

Движение, при котором луч k отображается сам в себя, а полуплоскость X, ограниченная прямой, которой принадлежит данный луч, отображается в полуплоскость X', ограниченную той же прямой, называется поворотом. Прямая t, которой принадлежит луч k, называется осью поворота. Как следует из § 7, такое движение существует и притом единственное. Все точки оси поворота отображаются сами в себя.

При повороте, отличном от тождественного движения, не существует других неподвижных точек, кроме точек оси.

201

Действительно, если бы такая точка M существовала, то мы имели бы три неподвижные точки при повороте (точка M и две любые точки оси), причем эти точки не лежали бы на одной прямой. Мы же знаем, что это возможно только при тождественном движении (§ 19).

Рассмотрим плоскость а, перпендикулярную оси поворота t (черт. 180). Пусть О — точка их пересечения. Если
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed