Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
= тх. По условию 3: пх = 1. Отсюда х = ~ и пл. T = тх = — = с\
в) с — иррациональное число
Черт. 173
Черт. 174
Пусть Ck net — приближенные значения с с точностью до соответственно с недостатком и с избытком:
ck <c<°t> WCf-0I = W'
Возьмем прямоугольник T1 со сторонами 1 и с~ и прямоугольник T2 со сторонами 1 и с? (черт. 174).
Так как T1 является частью прямоугольника T1 а последний — частью прямоугольника T21 то по свойству 5:
пл. T1 < пл. T < пл. T2.
Так как с~ и занному выше:
рациональные числа, то по дока-
пл. T1=Cj1 пл. T2 = с+
Отсюда при любом k с~ < пл. T < с+. Следовательно,
пл. Т=с.
195
Итак, площадью прямоугольника со сторонами 1 и с может быть только число с.
Рассмотрим теперь прямоугольник со сторонами а и Ь. Если с = ab, то данный прямоугольник равносоставлен с прямоугольником, стороны которого 1 и с. Как только что мы показали, площадью последнего прямоугольника может быть только число с.
По свойству 6 площадью данного прямоугольника может быть только то же самое число C1 равное произведению его сторон а и Ь. Этим доказано высказанное выше утверждение.
Установив, что площадь прямоугольника равна произведению его двух смежных сторон, мы можем найти площадь любого многоугольника. Для этого нам надо воспользоваться теоремами о равносоставленности многоугольников. Пользуясь ими, легко получим известные формулы для площади параллелограмма, треугольника, трапеции и других многоугольников.
Многоугольники, имеющие равные площади, называются равновеликими. Из свойства 6 следует, что равносоставлен -ные многоугольники являются равновеликими. Покажем, что справедливо обратное предложение: равновеликие многоугольники равносоставлены (теоремаБолья и—Г е р-в и н а).
Пусть многоугольники F1 и F2 равновелики:
пл. F1 = пл. F2.
Многоугольник F1 равносоставлен с некоторым прямоугольником T11 а многоугольник F2 — с прямоугольником T2. Следовательно,
пл. F1 = пл. T1 = u1O11
пл. F2 = пл. T2 = аф21
где аъ Ь± и a2l b2 — смежные стороны прямоугольников T1 и Г2. По условию
CL1O1 = CL2O2 .
Следовательно, прямоугольники T1 и T2 равносоставлены. Отсюда вытекает равносоставленность многоугольников F1 и F2 (§ 58).
§ 60. Площадь круга
Как и в § 56, построим последовательность правильных вписанных в данную окружность и описанных около нее многоугольников. С возрастанием числа сторон периметр
196
lim
n oo
и апофема вписанного правильного многоугольника возрастают, периметр описанного правильного многоугольника убывает, а апофема последнего (радиус окружности) остается постоянной. Отсюда следует, что последовательность
S3, S4, Sn, (1)
где5Л= — площадь правильного вписанного /г-уголь-ника, монотонно возрастает, а последовательность
T3, Т"4, Tn,... , (2)
q R
где Tn = --площадь правильного описанного д-уголь-
ника, монотонно убывает. Так как при этом Tn > Sn, то каждая из этих последовательностей является сходящейся. Пользуясь теоремами о пределах последовательностей, получим (§ 56):
Sn= Hm (РпЬп)=± (UmPn) (lim kn) = ±CR, n 00 \ 2 / 2 п -*¦ оо п-э-оо 2
Hm 7 = lim (BsA) = R Hm 0 = J- CR Hm 5„= Hm Tn=^cR = ^¦(2KR) = к R*.
П оо Я оо * * \ J
Пусть/7 — произвольный вписанный многоугольник. Так как он является частью любого описанного многоугольника, то
пл. F < Tn.
Отсюда следует, что
пл. F < Hm Tn,
т. е.
пл. F < tz R2.
Построим вписанный многоугольник F' такой, что
пл. F' > пл. F.
(Способ построения многоугольника F' ясен из чертежа 160 4 По доказанному:
пл. F' < тс R2.
Отсюда
пл. F < ти R2.
197
Аналогичным путем докажем, что площадь любого описанного многоугольника больше тг ^2. Мы доказали следующую теорему.
Теорема. Последовательность площадей правильных вписанных в окружность радиуса R многоугольников и последовательность площадей правильных описанных около нее многоугольников при неограниченном возрастании числа их сторон сходятся к общему пределу к R2, который больше площади любого вписанного многоугольника, но меньше площади любого описанного многоугольника.
Этот предел называется площадью круга радиуса R.
Из данного определения следует, что площадь круга
равна у CR1 где с — длина окружности, ограничивающей данный круг.
ГЛАВА X
ДВИЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
§61. Отражение от плоскости
В дальнейшем мы опираемся на материал о взаимном расположении прямых и плоскостей, известный из школьного курса.
Черт. 175 Черт. 176
Возьмем плоскость а. Две точки M и M' называются симметричными относительно плоскости а, если прямая MM' перпендикулярна этой плоскости и точка их
198
пересечения есть середина отрезка MM'. Каждая точка плоскости с считается симметричной самой себе.
Преобразование S1 при котором каждая точка M отображается в симметричную ей точку M' относительно ПЛОСКОСТИ g называется отражением от плоскости о (черт. 175).
По определению
s(M) = M'
и
