Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Q2, .•., Qm'
F1-Q1 + Q2 + ...+ Qm9 F3-Q1+ Q2+ ...+ Qn.
Многоугольник P1 разлагается на составляющие его многоугольники двумя способами. Совокупность ломаных, проводимых при одном и при другом способах, даст третье разложение многоугольника P1 на некоторые многоугольники R11 R21 Rn. Каждый из многоугольников P1 или Qj при этом окажется соединением некоторого числа многоугольников Rt. Поэтому многоугольники P2 и P3 разлагаются на одни и те же многоугольники R11 R21 Rn:
F2 ~ R1 + R2 + ... + Rn,
F3^R1 + R2 + ... +Rn,
т. е. P2 и P3 — равносоставленные многоугольники.
*) Равные многоугольники обозначаем одним символом.
188
Теорема 2. Два параллелограмма, имеющие равные основания и равные высоты, равносоставлены.
Пусть F1 и F2 — два таких параллелограмма (черт. 165 и 166). Путем перемещения одного из них расположим параллелограммы F1 и F2 так, чтобы они имели общее основание AB и принадлежали одной полуплоскости, ограниченной прямой AB.
Черт. 165 Черт. 166
Один из них займет положение ACDB1 а другой APQB; стороны CD и PQ окажутся на прямой, параллельной общему основанию AB. Возможны два случая:
1. ЛP не пересекает BD. В этом случае
CJ ABDC ~ Л ACP + d APDB
и
CJ APQB ~ Л BDQ + [ZX APDB.
Как легко видеть, Л ACP = A QBD. Теорема очевидна.
2. ЛP пересекает BD в некоторой точке /С. Разделим BD на п равных частей так, чтобы
вк>вА
п
что в силу аксиомы Архимеда всегда возможно. Проводя через точки деления прямые, параллельные AB1 каждый изданных параллелограммов мы разделим на п равных частей, каждая из которых будет тоже параллелограммом. Рассмотрим две такие части, входящие в разные параллелограммы и имеющие общую сторону AB (параллелограммы AC1D1B и ЛP1 Q1B).Они удовлетворяют условиям первого случая и поэтому равносоставлены. Отсюда вытекает равносоставленность данных параллелограммов.
Теорема 3. Треугольник равносоставлен с параллелограммом, у которого основание совпадает с одной из сторон треугольника, а высота равна половине соответствующей высоты треугольника.
189
Доказательство легко усматривается из чертежа 167,
где BK = КС, DE Il AC и ЕС || АВ.
Следствие 1. Треугольник равносоставлен с прямоугольником, у которого одна из сторон — сторона треугольника, а другая равна половине соответствующей высоты треугольника.
Следствие 2. Два треугольника с равными основаниями и равными высотами равносоставлены.
Черт. 167
Черт. 168
Лемма. В параллелограмме произведение стороны на соответствующую высоту не зависит от выбора стороны.
Проведем в параллелограмме ACDB высоты CF и BE (черт. 168). Так как Д CAF ооД ВАЕ, то AC ^AB
CF BE'
или AC • BE = AB • CF, что и требовалось установить.
Теорема 4. Если в двух прямоугольниках произведение двух смежных сторон одного равно произведению двух смежных сторон другого, то эти прямоугольники равносоставлены.
Если а и b — смежные стороны одного прямоугольника, а с и d — другого, то по условию
ab = cd.
Пусть а < с. Построим параллелограмм F по основанию 6, высоте а и боковой стороне с, что всегда возможно (чертеж 169). Если X — высота параллелограмма F, соответствующая стороне с, то по лемме имеем:
сх = ab.
Сравнивая с данным условием, получаем, что х = d.
По теореме 2 параллелограмм F равносоставлен как с первым прямоугольником, так и со вторым. Из теоремы 1 следует, что данные прямоугольники равносоставлены.
190
Легко разложить выпуклый многоугольник на треугольники. Можно показать, что любой невыпуклый многоугольник можно тоже разложить на треугольники. Основываясь на этом, докажем следующую теорему.
F
ь
ь
Черт. 169
Теорема 5. Всякий многоугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником.
Пусть данный многоугольник F разложен на треугольники P1, P2, Pk:
F ~ Pi + Рг + ...+JV
Каждый треугольник P1 равносоставлен с некоторым прямоугольником Q1. Возьмем определенный отрезок а. По теореме 4 для каждого прямоугольника Q1 можно подобрать такой прямоугольник R1, который будет с ним равносоставлен и иметь одну из сторон, равную отрезку а.
____у___
А,
Яг
Черт. 170
Черт. 171
Построим, далее, прямоугольник T со стороной а, являющийся соединением прямоугольников R1 (черт. 170). Так как прямоугольник R1 равносоставлен с треугольником P1, то в конечном счете прямоугольник T равносоставлен с данным многоугольником F.
Встает вопрос: не можем ли мы получить другой прямоугольник T' с той же стороной а, не равный прямоуголь-
191
нику T и в то же время равносоставленный с многоугольником F? Если это возможно, то прямоугольники Г и Г' равносоставлены. Так как они имеют равные стороны, то путем перемещения одного из них мы сможем расположить данные прямоугольники так, что будем иметь два равносо-ставленных многоугольника, из которых один является частью другого (черт. 171).
Опыт подсказывает, что такое положение невозможно. Поэтому примем следующую аксиому, необходимую для дальнейшего.
Аксиома (аксиома де-Цольта). Многоугольник не может быть равносоставлен со своей частью.
