Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
і, — P]L и 71 — Ли.
п ~ 2R °п 2R-
Общим пределом этих двух последовательностей будет -^-
ZR
Если мы изменим радиус окружности, то изменятся и периметры рп и qn, но отношение их к диаметру останется прежним. Действительно, если новый радиус окружности будете, а периметры правильных вписанных и описанных многоугольников, будут р'п и qn , то из свойства подобия правильных многоугольников заключаем, что
Pn = Р'п п q'n Qn R R' п R' R1
ИЛИ
Рп_ = Ґ_п_ Ц\_ = ?n_ 2 R 2 R' И 2 R' 2 R'
181
Следовательно, общий предел последовательностей 4 и 5 не зависит от диаметра окружности, т. е. он будет один и тот же для всех окружностей. Этот предел обозначается
Отсюда получим, формулу для длины окружности: с = 2iz R, или с = TzD1 где D — диаметр окружности.
Последовательности 4 и 5 можно рассматривать как последовательности приближенных значений числа ті с недостатком (4) и с избытком (5).
Вопрос о нахождении числа тс при помощи этих последовательностей и формулы удвоения числа сторон правильного многоугольника рассмотрены в школьном курсе. При этом мы, например, последовательно находим периметры р6, р12, р24 и т. д., что дает значение тс с недостатком. Найдя
D
ап, легко найти kn, а затем qn = -r~ Pn- Этим мы определим
значение тс с избытком.
Теорема. Периметр любого выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, меньше длины данной окружности, а периметр любого описанного око-ло этой окружности многоугольника больше ее длины.
Начнем доказательство со следующих замечаний:
1) каков бы ни был вписанный многоугольник, можно вписать в ту же окружность другой многоугольник с большим периметром;
2) каков бы ни был описанный многоугольник, можно описать около той же окружности многоугольник с меньшим периметром.
буквой тс. Итак, тс =
с
2R
в
в
E
Черт. 160
Черт. 161
182
Справедливость их легко установить из чертежей 160 и 161, сравнивая вписанные многоугольники ABCDE и AMBCDE и описанные многоугольники ABCDE и AMNCDE.
Будем в дальнейшем опираться на известную из школьного курса лемму о периметре многоугольника, объемлющего выпуклый многоугольник.
Пусть р — периметр некоторого вписанного выпуклого многоугольника. По лемме он меньше периметра правильного описанного я-угольника.
P < Qn-
Каждый член последовательности (2) больше р. Поэтому предел ее с будет или больше р, или равняться р:
P < с.
Периметр любого вписанного многоугольника не превосходит длины окружности. Если возьмем другой вписанный многоугольник с периметром р' > р, то для него имеем то же соотношение:
р' < C1
отсюда:
P < с.
Если q — периметр некоторого описанного многоугольника, то по лемме каждый член последовательности (1)
Pn < Q-
Отсюда:
c<q.
Длина окружности с не превосходит периметра любого описанного многоугольника. Если возьмем другой описанный многоугольник с периметром q' < q, то с < q' Отсюда имеем: с < q.
§ 57. Спрямление окружности. Длина дуги
При определении длины окружности мы взяли последовательности правильных вписанных и описанных /г-уголь-ников (§ 56). Из рассматриваемых там последовательностей 1 и 2 выделим последовательности:
Pv Ps> Pie. •••> (1 а)
Q81 <7іб> - (2 а)
183
Первыми членами их являются периметры правильных четырехугольников. Каждый следующий член этих последовательностей представляет собой периметр правильного многоугольника с числом сторон вдвое большим, чем число сторон предшествующего ему многоугольника. Обе эти последовательности имеют один и тот же общий предел C1 причем сторона многоугольника при неограниченном удвоении числа сторон его может стать сколь угодно малой.
Пользуясь правильными 2Л-угольниками и доказанной в § 51 теоремой 2, мы можем установить взаимно однозначное соответствие между точками окружности и точками отрезка AB1 длина которого равна найденному выше пределу с.
Возьмем для этого окружность К и отрезок AB = с (черт. 162). Возьмем на окружности точку О и будем отсчитывать от нее дуги в каком-либо одном направлении (например, в направлении, противоположном направлению вращения часовой стрелки). Разделим окружность на 2п рав-
м; а/; м; м: Mi1
Черт. 162
ных дуг так, чтобы точка О являлась концом одной из этих дуг, и перенумеруем точки деления по порядку от точки О в выбранном направлении. Отрезок AB тоже разделим на 2п частей и точки деления перенумеруем по порядку от точки А к В.
Каждой точке M1 окружности поставим в соответствие точку M\ отрезка. Таким путем бесконечному множеству точек окружности, являющихся вершинами правильного 2л-угольника, поставим в соответствие бесконечное множество точек отрезка AB1 являющихся точками деления его на 2п равных частей. При этом точке окруж-
184
ности, более удаленной от выбранного начала О, будет соответствовать точка отрезка, более удаленная от точки А. Будем считать, что дуге M1M1 + 11 являющейся
^ частью окружности, соответствует отрезок М\М\ + 1, являющийся ~ частью отрезка AB.
