Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. 158
176
хорда AAn является стороной правильного вписанного (п + 1)-угольника, т. е. AAn = ап + 1.
Пусть B19 B29 Bn — проекции точек A19 A29 ...,An на хорду AB. Так как равные отрезки AA19 A1A29 AnB неодинаково наклонены к хорде AB9 то их проекции AB19 B1B29 BnB не равны все между собой. Наименьшими из них будут AB1 и BnB. Поэтому хорда AB разделится точками B19 B29 Bn на (п + 1) неравных частей, и BnB
будет меньше —]—г AB. J п + 1
Разделим теперь хорду AB точками C1, C2, Cn на (п + 1) равных частей. Тогда
и поэтому
CnB > BnB,
значит,
ACn < 4b11.
Отсюда следует, что в треугольнике А А пСп угол при вершине Cn — тупой, и поэтому
AAn > ACn.
Так как
AAn — а„_j_і, ACn
то
или
т. е.
(п + 1) ая + 1 > пап,
Рп + 1 > Рп>
что и требовалось установить.
Теорема 2. Периметр правильного многоугольника, описанного около данной окружности, убывает с возрастанием числа его сторон.
Нам надо доказать, что qn > <7„ + i.
Доказательство. Пусть ML = Ьп— сторона правильного описанного п-угольника, С — точка, в которой
177
она касается окружности (черт. 159). Соединим центр окружности О с точками MhL. Пусть А и В — точки пересечения
прямых OM я OLc окружностью. Дуга ACB составляет —
О
Черт. 159
часть окружности, причем \j AC = kjCB. Разделим на (п + 1) равных частей дугу AC точками A19 A29 An (идя от точки А к точке С) и дугу ВС точками B19 B29 Bn (идя от точки В к точке С). Прямые OA19 OA29 OAn разделят отрезок MC точками M19 M29 Mn соответственно на п + 1 неравных частей, прямые OB19 OB29 ...,.OBn разделят точками L1, L2, ...,Ln отрезок LC на такие же части.
По свойству наклонных, проведенных к прямой из одной точки, имеем:
OM > OM1 > OM2 > ... > OMn > ОС. Так как отрезок OM1 является биссектрисой Д MOM2,
то
MM1 > M1M2.
Из /\МіОМз9 для которого отрезок OM2 является биссектрисой, находим:
M1M2 > M2M3.
Таким же путем установим неравенства для остальных отрезков.
178
Итак, имеем:
MM1 > M1M2 > M2M3 > ...> MnC Отсюда следует, что
ММ±>-\-гМС
1 п + 1
Далее, получим: CM1 = CM — MM1 < CM--l—r- CM = —^1- СМ.
1 1 AZ + 1 AZ + 1
Так как CM1 = CL1 и CM = CL1 то отсюда получим: M1L1 < ^ ML.
Легко подсчитать, что дуга -A1S1 составляет 1
AZ+ 1
часть окружности. Поэтому M1L1 = 6л + х — сторона правильного описанного (п + 1) - угольника, и полученное неравенство можно записать так:
п и Ьп>
bn + i< тгрт
или
(л + 1)Ьп + 1 <
т. е.
Яп + i < Qn-
§ 56. Длина окружности
Для данной окружности мы имеем две последовательности: монотонно возрастающую последовательность длин периметров правильных вписанных многоугольников
Рз> P^ Рь> Piv ••• (1)
и монотонно убывающую последовательность длин периметров правильных описанных многоугольников
<7з> ?4> ?5> Яп> ••• (2)
Так как периметры одноименных правильных многоугольников относятся как их апофемы, то
Pn kn ^
(kn — апофема правильного вписанного многоугольника).
179
Отсюда:
Qn > Pn-
Ho
Qn < Qn-i < - < Qs-Следовательно, при любом п
Pn < Qs-
Бесконечная монотонно возрастающая последовательность (1) ограничена сверху. Поэтому (см. курс анализа) она имеет предел, который обозначим буквой с:
Hm Pn = С.
п -> оо
Полученное число с принимается за длину данной окружности.
Итак, длиной окружности называется предел бесконечной возрастающей последовательности длин периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность.
Так как
Pn < с, то ап < ~.
Отсюда заключаем, что при неограниченном возрастании п сторона ап может стать сколь угодно малой. Следовательно, последовательность
#з> #4» #5» •••> un »•••
имеет пределом нуль:
Hm ап = 0.
п -> оо
Как известно из школьного курса (см. учебник Киселева ч. 1, § 263), отсюда вытекает, что последовательность апофем правильных вписанных многоугольников
k3i К, kn, ... (3}
сходится, и
Hm kn = R.
п -> оо
Рассмотрим теперь последовательность длин периметров правильных описанных многоугольников (2). Так как
Qn > Рп>
то и подавно при любом п qn > р3. 180
Следовательно, последовательность (2) ограничена снизу. Так как, кроме того, эта последовательность монотонно убывающая, то она сходящаяся. Последовательности 1, 2 и 3 связаны равенством:
a
В силу известных теорем о пределах имеем:
Hm Pn
Hm Qn=Rn-^CO д/? с п -* 00 lim kn R
п -*» оо
Мы доказали теорему: Длина окружности равна пределу бесконечной монотонно убывающей последовательности длин периметров правильных многоугольников, описанных около этой окружности.
Таким образом, последовательности 1 и 2 можно рассматривать как последовательности приближенных значений длины окружности с недостатком (1) и с избытком (2).
Разделив все члены последовательности 1 и 2 на длину диаметра окружности, получим две новые последовательности:
иъ, и4, и5, ип, (4,)
V39 v4, vb, vn, (5;
где
