Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 52

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 79 >> Следующая


172

существовал, то ему соответствовала бы дуга PQ, общая для всех дуг данной последовательности, что не имеет места по третьему условию.

В соответствии с аксиомой Кантора на хорде A0B0 существует единственная точка X', общая для всех отрезков А\В\. Этой точке на дуге A0B0 соответствует точка X, общая для всех дуг данной последовательности. Другой такой точки Y не существует, так как тогда была бы дуга XY1 общая для всех дуг данной последовательности, что невозможно по условию. Теорема доказана.

Перейдем теперь к решению поставленной в начале данного параграфа задачи.

Теорема 3. Какова бы ни была дуга AB и каково бы ни было натуральное число т (т > 2), существует дуга CD той же окружности, такая, что w AB = т w CD.

Таким образом, теорема утверждает, что любая дуга AB может быть разделена на любое число равных частей.

Доказательство. Так как при т = 2птеорема справедлива, то в дальнейшем будем считать т Ф 2п. Если

возьмем дугу PQ, такую, что w PQ = ^ ^ AB (k — натуральное число), то при таком т всегда т w PQ Ф \и AB,

так как всегда -^n- Ф 1.

Рассмотрим последовательность дуг, образованную следующим образом (черт. 156).

Разделим дугу AB точкой A1 пополам и возьмем ку AA1 в качестве первой дуги последовательности. Так как т > 2, то

т w AA1 > w AB.

Дугу AA1 разделим точкой A2 пополам. При

т Kj AA2 < w AB

в качестве второй дуги последовательности берем w A2A1, если же

т w AA2 > w AB, то в качестве таковой берем \j AA2.

Положим, мы имеем первый случай. Вторую дугу последовательности, т. е. в данном случае \j A2A1, разделим

173

пополам точкой A3. При т kj AA3 < kj AB в качестве третьей дуги последовательности берем kj A3A11 а при m\jAA3 > \j AB берем в качестве таковой \j A2A3. Пусть третьей дугой последовательности будет kj A2A3.

Дугу A2A3 в свою очередь разделим точкой Л4 пополам и из полученных частей ее в качестве четвертого члена последовательности возьмем kj A1Aj (i = 2 или 4; / = 4 или 3), такую, что

т Kj AA1 < Kj AB1

т kj AAj > \j AB.

Будем продолжать подобным образом этот процесс неограниченно. Возможность этого обеспечена тем, что для любой точки деления Ak имеем:

т kj AAk Ф kj AB1 так как из построения точки Ak следует, что

kjAA, = ^kj AB

(I — натуральное число).

На дуге AB мы получим бесконечную последовательность дуг, причем каждая дуга этой последовательности принадлежит предыдущей дуге. Дуга, являющаяся /г-м членом данной

последовательности, представляет ^ часть дуги АВ.

В силу следствия из теоремы 1 при достаточно большом п она будет меньше любой заданной дуги PQ. Отсюда следует, что не существует дуги PQ1 общей для всех дуг данной последовательности.

Все условия теоремы 2 соблюдены. Следовательно, существует единственная точка X1 общая для всех дуг рассматриваемой последовательности. Докажем, что

т Kj AX = kj АВ.

Пусть KJ A^An является /г-м членом последовательности. Тогда:

т \j AA1 < Kj AB1 т Kj AAn > Kj AB

и

т Kj AA1 < т kj AX < т kj AAn.

174

Так как

то

_1_ 2п

w AB9

т w AAn — т w ЛЛ, = — w Л5.

При неограниченном возрастании п дуга ^ (m и ЛВ)

в силу следствия из теоремы 1 может стать сколь угодно малой (т. е. меньше любой заданной дуги). Отложим дуги т w AA19 т AAn и т w ЛХ на окружности от точки Л

Черт, і 57

по дуге AB. Пусть Pn, Qn и Y — концы этих дуг соответственно (черт. 157). Тогда:

w APn < w AB9 w AQn > kj AB

и

w ЛР„ < w ЛГ < w 4Q11,

причем

w Q7A = AQn - w ЛР„ = g ДА.

Точки ShF принадлежат дуге PnQn. Они совпадают, так как в противном случае

иВГ<и PnQn =*^n(m\j AB^

при любом п9 что невозможно. Итак,

AY = AB9

175

т. е.

т w AX = w AB и AX = —^ AB.

т

Следствие. Существуют точки на окружности, делящие ее на любое число равных между собой дуг.

Этим самым доказано существование любого правильного /n-угольника, вписанного в данную окружность.

В силу имеющегося соответствия между дугами и центральными углами окружности отсюда также следует возможность деления произвольного угла на любое число равных частей.

§ 55. Правильные многоугольники

Дополним материал о правильных многоугольниках, известный из школьного курса, некоторыми новыми сведениями, необходимыми для выяснения понятия длины окружности.

Возьмем окружность радиуса R и рассмотрим правильные многоугольники, вписанные в эту окружность и описанные около нее. Пусть ап я Pn — сторона и периметр правильного вписанного /г-угольника, а Ьп и qn — сторона и периметр правильного описанного п-угольника.

Теорема 1. Периметр правильного многоугольника, вписанного в данную окружность, растет с увеличением числа его сторон.

Надо доказать, что рп<рп + 1.

Доказательство. Пусть AB — сторона правильного вписанного/г-угольника (черт. 158): AB = ап. Следовательно, дуга AB является -^- частью всей окружности.

Разделим ее точками A1, A2, An на п + 1 равных частей; п таких частей дадут дугу AAn, которая, как легко

подсчитать, является —-j—г- частью окружности. Поэтому
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed