Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
165
§ 53. Построения одним циркулем
В § 14 мы уже говорили о построениях при помощи одного циркуля. Докажем теперь, что все построения циркулем и линейкой могут быть выполнены одним циркулем. Для этого воспользуемся рассмотренным нами в главе VI преобразованием инверсии.
Прежде всего покажем, как одним циркулем построить точку, инверсную данной относительно данной окружности.
Пусть А — данная точка, а О — окружность инверсии.
Случай 1. OA > у, где г—радиус окружности инверсии (черт. 150 а, 150 б).
Строим окружность радиуса АО с центром в точке А\ из точек пересечения ее с окружностью О (точки P и Q)9
как из центров, строим окружности радиуса г. Эти две последние окружности, кроме точки О, пересекутся еще в некоторой точке А'', которая будет искомой.
Действительно, точки O9 A Yi А' лежат на одной прямой, как точки, равноудаленные от точек PhQ. Кроме того, AOPA оо дОРЛ', так как эти треугольники равнобедренные и имеют общий угол при вершине О. Отсюда:
или OA' • OA = OP2 = г2, т. е. А и А' — взаимно обратные точки.
Черт. 150 а
Черт. 150 б
OP ~ OA"
Случай 2. OA <
166
Подберем такое натуральное число /г, чтобы п - OA > у (что
всегда возможно в силу аксиомы Архимеда). На луче OA возьмем точку В так, чтобы OB = п - OA (черт. 151). Строим точку S', инверсную точке В, и на луче OA бе-
рем OA'
OA
точку А' так, чтобы = п-ОВ. Тогда имеем:
OA'= OA - п-ОВ'= = {п-ОА)-ОВ' -= = OB-OB' =г\
т. е. точка А' инверсна Черт. 151
точке А.
Так как при помощи одного циркуля мы можем удваивать отрезок (§ 14), то все построения в данном случае мы можем осуществить тоже при помощи одного циркуля.
Покажем теперь, как при помощи одного циркуля построить центр окружности, проходящей через три данные точки O1 А и В (черт. 152).
Построим окружность с центром в точке О и примем ее за окружность инверсии. Построим затем точки А' и В', инверсные данным точкам А и В (что можно выполнить одним циркулем). В целях упрощения чертежа возьмем окружность инверсии, проходящей через точку А. Тогда точки А я А' совпадают. При помощи одного циркуля построим точку M1 симметричную точке О относительно прямой AB'. Наконец, строим точку /С, инверсную точке М.
По построению точки O1 К и M лежат на одной прямой и OK- OM = OA2. Отсюда:
OK = OA OA OM'
Треугольники OAK и OAM подобны, так как ^AOM у них общий, а стороны, заключающие его, пропорциональ-
Черт. 152
167
ны. Поэтому ^ OAK = ^OMA. По построению OA = MA. Следовательно, OK = AK- Рассматривая треугольники OMB' и OKB1 совершенно также докажем, что они подобны и KB = OK- Таким образом, точка К является центром искомой окружности.
Чтобы построить окружность, инверсную данной окружности, возьмем на последней три произвольные точки А, В и С, построим инверсные им точки А', В' и С и проведем через них окружность. Все необходимые при этом построения могут быть выполнены одним циркулем.
Если дана прямая двумя точками А и B1 то для построения окружности, ей инверсной (предполагаем, что прямая AB не проходит через центр инверсии), строим точки А' и В', взаимно обратные точкам А и B1 и проводим окружность через точки А', В' и центр инверсии. Все необходимые при этом построения могут быть также выполнены одним циркулем.
Рассмотрим теперь задачу о построении одним циркулем точек пересечения окружности С и прямой, заданной точками А и В.
Возьмем произвольную окружность так, чтобы ее центр не лежал на прямой AB и на окружности C1 и примем эту окружность за окружность инверсии. Строим затем окружности С и К'инверсные данной окружности С и данной прямой AB. Пусть M' и N' — точки пересечения окружностей С и К'. Тогда точки MnN1 обратные им, являются искомыми. Эти точки, следовательно, можно построить, применяя только циркуль.
Если даны две прямые AB и CD1 заданные точками A1 BnC1D1 то строим окружности, им инверсные, находим точку их пересечения M', отличную от центра инверсии, и строим точку M1 обратную точке ЛГ. Точка M будет искомой точкой пересечения прямых AB и CD.
Отсюда вытекает упомянутая в§ 14 теорема Мор а— Маскерони: Все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, разрешимы также одним циркулем.
Из доказательства данной теоремы вытекает и общий метод решения задач одним циркулем. Само собой разумеется, что конкретные задачи могут иметь более простые решения.
При нахождении точек пересечения окружности и прямой удобно данную окружность принять за окружность инверсии. Окружность, инверсная прямой AB, пересекается
168
с окружностью С в тех же точках X и Y1 что и прямая AB (черт. 153). Для построения ее центра строим точку M1 симметричную центру С относительно прямой AB1 и точку /С, инверсную М. Точка К является центром окружности, инверсной прямой AB. Остается построить эту окружность (ее радиус — отрезок КС) и точки ее пересечения с данной окружностью.
Данное построение, как легко убедиться, обосновано Черт. 153 выше при решении задачи о построении окружности, проходящей через три данные точки. В случае, если центр окружности лежит на прямой AB1 данное построение неприменимо.
