Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Утверждение, что данная фигура F представляет множество или геометрическое место точек, удовлетворяющих определенным условиям, означает, что:
1) всякая точка фигуры F удовлетворяет всем данным условиям;
2) всякая точка, удовлетворяющая всем данным условиям, принадлежит фигуре F.
Если все точки фигуры F являются точками фигуры Ф, то говорят, что фигура F принадлежит фигуре Ф. Принадлежность фигуры F фигуре Ф обозначается следующим образом: F С Ф.
Соединением фигуrp F1, F2J ...,Fn называется множество точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур. Совокупность общих точек фигур F1, F2, Fn называется пересечением этих фигур. Фигуры, не имеющие общих точек, будем называть непересекающимися (их пересечение является пустым множеством).
В силу общего определения фигуры соединение или пересечение двух или нескольких фигур является также фигурой. Если F — пересечение фигур F1 и F2, то этот факт символически записывается так: F — F1 X F2.
Соединение отрезков AB, ВС, KL и LM называется ломаной линией или просто ломаной. Данная ломаная обозначается так: ABCD...LM. При этом говорят, что она соединяет точки А и М. Отрезки, составляющие ломаную, и их концы называются соответственно ее сторонами и вершинами. Точки А и M данной ломаной называются ее концами. Отдельно взятый отрезок можно рассматривать как частный случай ломаной.
Если концы ломаной совпадают, то она называется замкнутой ломаной.
Ломаная называется простой, если выполняются условия:
1) каждая вершина ее может служить общим концом только двух сторон;
2) помимо вершин, стороны ломаной не имеют общих точек.
12
Стороны простой ломаной называются смежными или соседними, если они имеют общий конец. Вершины ломаной называются смежными или соседними, если они принадлежат одной стороне.
Черт. 6 Черт. 7
Пример простой ломаной дан на чертеже 6. Ломаная ABCDECF', изображенная на чертеже 7, не является простой: вершина ее С — общий конец четырех сторон, а стороны AB и CD имеют общую внутреннюю точку.
Фигура называется выпуклой, если ей принадлежит отрезок, соединяющий любые две ее точки.
Простейшими выпуклыми фигурами являются: прямая, плоскость, луч и отрезок. Отдельно взятую точку будем считать также выпуклой фигурой.
Теорема. Пересечение двух (или нескольких) выпуклых фигур является выпуклой фигурой.
Пусть F — пересечение выпуклых фигур F1 и F2 и пусть А и В — две любые точки фигуры F. Следовательно, точки А и В принадлежат как фигуре F1, так и фигуре F2. В силу их выпуклости отрезок AB принадлежит каждой из этих фигур. Поэтому отрезок AB принадлежит и их пересечению.
Если фигура F представляет единственную точку, то она выпукла в силу определения. Теорема доказана.
§ 5. Угол
Фигура называется плоской, если она принадлежит некоторой плоскости.
Будем говорить, что фигура F делит плоскость, которой она принадлежит, на две области, если при этом точки плоскости, не принадлежащие F, можно разбить на два класса следующим образом (черт. 8):
1) каждый класс содержит точки;
2) любые две точки одного класса можно соединить ломаной, не имеющей с F общих точек;
13
3) отрезок, соединяющий любые две точки различных классов, пересекает F (т. е. имеет с ней общие точки). Каждый из этих классов составляет одну область.
Из определения выпуклой фигуры следует, что область будет выпуклой, если ей принадлежит отрезок, соединяющий любые две ее точки.
области, назовем лежащими по одну сторону прямой; точки, принадлежащие разным областям, назовем лежащими по разные стороны этой прямой. При этом говорят, что данная прямая ограничивает полуплоскость, а полуплоскость исходит из этой прямой.
Прямую, ограничивающую полуплоскость, назовем ребром этой полуплоскости.
Каждая прямая, лежащая в плоскости а, ограничивает две полуплоскости X и {х. Каждую из этих полуплоскостей будем называть дополнительной по отношению к другой.
Теорема. Полуплоскость является выпуклой фигурой.
Рассмотрим простейшие плоские фигуры, делящие плоскость на две области. Прежде всего возьмем прямую.
Аксиома. Всякая прямая, лежащая в некоторой плоскости, делит эту плоскость на две выпуклые области.
Черт. 8
Соединение каждой из этих областей с указанной прямой называется полуплоскостью. Точки, принадлежащие одной
Черт. 9
14
Пусть прямая а делит плоскость а на области PhQ (черт. 9). Соединение прямой а с областью P дает полуплоскость X. Отрезок, соединяющий любые две точки области Р, принадлежит, очевидно, X. То же относится к двум любым точкам прямой а. Рассмотрим теперь отрезок AB1 соединяющий точку А прямой а с точкой В области Р. Пусть M — его внутренняя точка. Отрезок AB не имеет других общих точек с прямой а, кроме точки А (иначе он принадлежал бы этой прямой, что не имеет места). Поэтому точка M не принадлежит прямой а. Она не принадлежит области Q, так как тогда отрезок MB пересекал бы прямую а в некоторой внутренней точке Л отрезка AB. Следовательно, любая точка M отрезка AB принадлежит области Р, т. е. отрезок AB принадлежит полуплоскости X. Теорема доказана.
