Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Задача сводится к определению sin 10°. Если sin а = ~>
то угол а определится из прямоугольного треугольника с гипотенузой п и катетом т. Гипотенузу п мы можем принять
равной выбранной единице длины. Тогда sin а = у и построение угла а сводится к построению отрезка т. В нашем случае положим sin 10° = х. Задача сводится к определению неизвестного X и построению отрезка, длина которого равна х. Как известно
sin За = 3 sin а — 4 sin3 а. В нашем случае
sin 30° = 3 sin 10° — 4 sin310°,
или
Отсюда получаем уравнение для определения х:
8 хъ — 6 X + 1 = 0. Полагая у = 2 х, приходим к уравнению:
уз _ з у + 1 = 0.
162
Это уравнение, как легко убедиться, не имеет рациональных корней. Следовательно, отрезок х не может быть построен при помощи циркуля и линейки; поставленная задача неразрешима при помощи этих инструментов.
Задача о квадратуре круга. Построить квадрат, равновеликий кругу данного радиуса г.
Примем г = 1 (единица длины). Тогда задача сводится к построению отрезка
X = ]/~тс.
Доказано, что число ]/ тс не является корнем уравнения вида
а0 хп + O1 хп-1 + ... -\-ап-гх-\-ап = 0
с рациональными коэффициентами. Отсюда следует, что число тс не может принадлежать никакому полю Rn, о котором говорилось выше. Значит, отрезок х не может быть построен циркулем и линейкой.
В качестве последнего примера покажем невозможность построения правильного семиугольника при помощи циркуля и линейки.
Возьмем начало координат в центре окружности, радиус которой примем за единицу длины.
Пусть А и В — две вершины правильного семиугольника, причем координаты А суть числа 1 и 0 (черт. 149). Координаты точки В обозначим через X и у. Если точку В мож-
но построить при помощи циркуля и линейки, то л: и у должны Черт 149 принадлежать некоторому полю Rn, полученному из поля рациональных чисел путем последовательного присоединения к нему квадратных корней. Этому же полю должно принадлежать их отношение
, т. е. tg ср, где ср — угол BOA.
Рассмотрим комплексное число z = х + уі — cos ср -f-
+ і sin ср. Так как ср = у, то z7 = 1, или z7 — 1=0.
Отсюда получаем:
(х + уіУ-І =0,
163
Xі + 7 x*yi — 21 X5у2 — 35 х*уЧ +35 x'Y + + 21 х2уН — 7 xyQ — уЧ — 1 = 0.
По условиям равенства нулю комплексного числа коэффициент при і должен быть равен нулю:
7 х*у — 35 *У + 21 х2уъ — if = 0.
Так как мы ищем координаты точки B1 то х Ф 0 и у ф 0. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на xQy. Производя это деление, меняя знак и полагая
получим:
иъ — 21 и2 + 35 и — 7 = 0.
Полученное уравнение, как легко убедиться, не имеет рациональных корней. Следовательно, оно неразрешимо в
квадратных радикалах. Отсюда следует, что отношение -~ не
может принадлежать полю Rn1 а поэтому точка В не может быть построена при помощи циркуля и линейки.
В связи с последней задачей затронем вопрос о том, какие правильные многоугольники можно строить циркулем и линейкой.
Положим, что мы можем разделить окружность на р и q равных частей, где р и q — взаимно простые числа и^>р. Как следует из алгоритма Евклида, для отыскания наибольшего общего делителя можно подобрать такие два натуральных числа и и V1 при которых
uq — vp = 1. Деля обе части этого равенства на pqt получим:
u u _ 1
Если мы возьмем и раз -^- часть окружности и вычтем
из полученной дуги V раз повторенную часть окруж-
1
ности, то получим дугу, составляющую — часть всей окружности.
Следовательно, если можно циркулем и линейкой разделить окружность на р и q равных частей, где р и q — взаим-
164
но простые числа, то ее можно также разделить на п = pq равных частей.
Пример, п = 15. Так как 15 = 3-5, а 3 и 5 — взаимно простые числа, то циркулем и линейкой можно построить правильный пятнадцатиугольник (построение правильных треугольников и пятиугольников известно из школьного курса). Легко видеть, что в данном случае
І. — JL _ A 15 3 5 '
т. е. из удвоенной третьей части окружности достаточно вычесть утроенную пятую часть ее.
В 1796 г. знаменитый немецкий математик К. Ф. Г а-у с с доказал следующую теорему.
Теорема Гаусса. Построение правильного п-угольника циркулем и линейкой возможно тогда и только тогда, когда число п может быть представлено в виде
п = 2^p1P2 ... ps,
где ръ р21 ps — различные простые числа вида 22* +1.
При т = 0 и s = 1 получим: п = р = 22* +1. Полагая k = 0 и k = 1, получим соответственно числа п = 3 и п = 5. При k = 2 п = 17. Следовательно, правильный 17-угольник можно построить циркулем и линейкой (известно несколько различных способов такого построения).
Так как числа 7,9, 11, 13 и 14 нельзя представить в указанном виде, то построение соответствующих правильных многоугольников циркулем и линейкой невозможно.
Используя другие инструменты, кроме циркуля и линейки, можно решить задачи, не разрешимые циркулем и линейкой. Понятно, что тогда мы будем иметь другую систему элементарных построений. Известно, например, что при помощи параболы могут быть построены действительные корни уравнений третьей и четвертой степеней с рациональными коэффициентами. Следовательно, задачи об удвоении куба, о трисекции угла и о построении правильного семиугольника можно решить циркулем и линейкой, используя один раз инструмент для построения параболы. Путем применения различных инструментов, отличных от циркуля и линейки, указанные три знаменитые задачи были решены различными способами еще математиками Древней Греции.
