Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть R0 — поле рациональных чисел а0, й0, с0, а Af0 — множество точек, координаты которых принадлежат полю R0.
Пусть, далее, k0 > 0 — число поля R0 такое, что YK не принадлежит этому полю (например, k0 = 3). Присоединяя к полю R0 число ]/~k0, получим совокупность чисел а1у
156
blt C11 ... вида a0 + boyk0l которую обозначим через Ri. Как известно, множество чисел является полем. В поле R1 войдут все рациональные числа. Будем говорить, что поле R1 получено из поля рациональных чисел R0 путем
присоединения к нему квадратного корня Yk0.
Возьмем на оси х точки А и В с абсциссами 1 и k0 (черт. 148). Построим отрезок ОС, средний пропорциональный между отрезками OA и OB. Его длина будет Yk0. Да-
ь л/~ k
лее, мы можем построить отрезок X по формуле X = j 0 •
Отрезок X будет четвертым пропорциональным к отрезкам
OA1 ОС и OD1 длины которых соответственно равны 1, YT0
и Ь0. Наконец, мы сможем построить отрезок а0 + b0YK> Отсюда следует вывод, оде ,в
что при помощи цир- ~4 Tj fcjj"
куля и линейки можно построить любую точку, координаты которой принадлежат полю R1. Совокупность этих точек обо- Черт. 148 значим через M1.
Возьмем, далее, число U1 из поля (A1 > 0) такое,
что Y~k~i Уже не принадлежит этому полю1*. Присоединяя Yk1 к полю R11 получим множество чисел а2, b2, C21 ... вида
+ К YK> которое является полем R2. В поле R2 войдут все числа поля ^1 (при Ьг = 0). Мы скажем, что поле R2 получено из поля ^1 путем присоединения к нему
квадратного корня YK •
Так как на оси х мы можем построить точки с абсциссами 1, U1 и O11 то, как показано выше, исходя из этих точек,
можно построить точки с абсциссами Y~kx и К YK- От* сюда вытекает, что мы можем построить при помощи циркуля и линейки все точки, координаты которых принадлежат полю R2. Множество этих точек обозначим через Al2.
х) Если kQ = 3, то ki может быть, например, числом 5 или числом 2 + 3 У~з.
157
Присоединяя, далее, к полю R2 число не принадлежащее этому полю, получим новое поле R3. Полю R3 будет соответствовать множество точек M3 с координатами, принадлежащими этому полю. Основываясь на множестве точек Al2, мы можем построить любую точку из M3 тем же путем, что и при построении точек множества M21 исходя из множества точек M1.
Продолжая этот процесс п раз, мы придем к числовому полю Rn, о котором скажем, что оно получено из поля рациональных чисел путем последовательного присоединения к нему квадратных корней. Этому числовому полю будет соответствовать множество точек Mn, с координатами из этого поля. Предыдущие рассуждения показывают, что любую точку множества Mn можно построить при помощи циркуля и линейки.
Покажем теперь, что исходя из единичного отрезка и взятой системы осей координат при помощи циркуля и линейки, можно построить только такую точку, координаты которой принадлежат некоторому полю Rn, полученному указанным выше способом.
Положим, что мы можем построить любую точку, координаты которой принадлежат некоторому числовому полю R. Числа этого поля обозначим буквами а, Ъ, с, ... . Множество точек, координаты которых принадлежат этому полю, обозначим буквой М.
Уравнение прямой, проходящей через точки А (а, Ь) и В {с, d):
X—а у—Ь с—a d—Ь"
После преобразований получим уравнение в виде рх + qy + s = О,
где р, q и s, как легко видеть, принадлежат R.
Для определения точки пересечения двух таких прямых потребуется решить систему уравнений:
рх + qy + s = О,
р'х + q'y + s' = О,
коэффициенты которой принадлежат полю R. Так как при решении этой системы мы будем производить над ее коэффициентами только рациональные операции, то полученные значения для х и у будут принадлежать тому же полю R.
158
Итак, точка пересечения двух прямых, каждая из которых проходит через две точки множества M1 принадлежит тому же множеству М.
Уравнение окружности с центром в точке О (а, &), проходящей через точку A (C1 d) (О и А —точки множества M), следующее:
(X — а)2 + (у — b)2 = (с — a)2 + (d— Ь)2.
После преобразования получим:
X2 + у2 + qx + hy + t = О,
где, как легко видеть, коэффициенты q, h и t принадлежат полю R.
Для определения координат точек пересечения данной окружности и рассмотренной выше прямой требуется решить систему уравнений:
X2 + у2 + qx + hy + t = О,
рх + qy + s = О,
коэффициенты которой принадлежат полю R.
Решая эту систему обычными методами, получим для неизвестных X и у выражения:
X — I ±_ mY~k>
у = I' ± пг'УТ,
где числа k, I1 Ta1 V и т' принадлежат полю R. Следовательно, координаты точек пересечения прямой и окружности будут или принадлежать полю R, или расширению этого
поля R' = R(Y H)1 полученному путем присоединения к
полю R квадратного корня ]/~& (если этот корень не принадлежит полю R).
Для получения точек пересечения двух таких окружностей требуется решить систему:
X2 + у2 + qx + hy + t = О,
X2 + у2 + qyx + h'y + Г = О,
которая легко сводится к следующей:
