Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
1) X — а ± Ь (построение суммы и разности двух отрезков);
2) X = ~- а, где т и п — натуральные числа (сводится к делению отрезка а на п равных частей);
3) X = ^ (построение отрезка, четвертого пропорционального к трем данным);
4) X = У^аЬ (построение отрезка, среднего пропорционального к отрезкам а и Ь)\
5) X — Y0P + Ь2 (построение гипотенузы прямоугольного треугольника по его катетам);
6) X = Ya2 — Ъ2 (построение катета прямоугольного треугольника по гипотенузе и другому катету).
Покажем на примерах, как строится отрезок в более сложных случаях.
7) X — aY т> где т — натуральное число. Пусть т = pq.
151
Тогда имеем:
X = Ya2m = V (pa) (qa) = Yuu, где и = pa и u = (7a.
Задача свелась к построению 4.
Если число m можно представить в виде т = р2 ± q2 (р и q — натуральные числа), то
X = У (pa)2 ± (qa)2 = У u2±v2. Задача свелась к построению 5 или к построению 6.
Пример: X = а]/ЇЗ = У (За)2 + (2а)2.
8) X = %
Положим u=Y- Тогда х = Задача свелась к построению 3, повторенному дважды.
9) * == !/a2 — 3b2 + 2ab. Полагаем: а2 — 3 Ъ2 = г/2,
2 аб = Z2.
Отсюда:
* = У У2 + Z2,
г/ = у а*-(ьУ^г = "К^л
где и = ЬУ~3 = У(2Ь)2 — &2 (или и = уТГз&);
г = ]/а(2 Ь). Построения проводим в следующем порядке: первое построение — V = 2 Ь, второе построение — Z = Yav, третье построение — и = У V2 — Ь2, четвертое построение — у = У а1 — и2, пятое построение — X= У у2 + г2-
10) X = У а8 — Ь8.
152
Подкоренное выражение представим следующим образом:
ofi — bs = (а4 — &4) (а4 + б4) = у 24, где у* = а4 — б4 и z4 = а4 + &4. Далее получим:
if = (а2—Ь2) (а2 + Ъ2) = aV, т. е. у2 = то,
где и = Ya2 — Ь2 и V = У а2 + Ь2\
Z4 = a2 ^ а2 + -^j = а2ш2, т. е. г2=аш,
где ^2 = а2 + -^5-.
Полагая — = t9 получим следующую цепочку построений:
второе построение третье построение -
пятое построение — w = у а1 -\
шестое построение — Z = Yaw. Окончательно получим:
а2
-ь\
' с2
+ ь\
UV,
ЬЬ>
' t
к Ь -
X =
= YYz* = Vyz.
Обычно при выполнении построений каждое последующее стараются выполнить на базе предыдущих, не перемещая по возможности построенные уже отрезки. Этого мы будем придерживаться при выполнении всех построений в данной задаче.
Пусть а и Ь — данные отрезки. Построим две взаимно перпендикулярные прямые PQn RS. От точки их пересечения О отложим на них отрезки OA = a, OB = b, OD = Ь, как показано на чертеже 144.
Построен и el. Строим окружность радиуса а с центром в точке В и точку пересечения ее с лучом OS (точка С). Тогда ОС = и.
153
Построение 2. Строим отрезок А В. Очевидно, что AB = v.
Черт. 144
Построение 3. Ka луче OR откладываем OF = AB и на отрезке FC1 как на диаметре, строим окружность. Отмечаем точку K1 в которой она пересекается с лучом OP. Тогда OK = у.
Построение 4. Через точку D проводим прямую, параллельную прямой AB1 и отмечаем точку пересечения ее с лучом OQ (точка E). Так как
OE _ OB OD ~ OA9 OD -OB ЬЪ
ТО
OE =
OA
Построение 5. Соединив точки А и Ej получим отрезок AE = w.
Построение 6. На луче OS откладываем OL = AE и на отрезке AL1 как на диаметре, строим окружность. Отметим точку M1 в которой она пересекается с лучом OQ. Легко видеть, что OM = г.
154
Построение 7. На отрезке KM1 как на диаметре, строим окружность. Отметим точку N1 в которой она пересекается с лучом 05. Отрезок ON является искомым отрезком х.
Задача. Построить отрезки, длины которых равны корням квадратного уравнения:
X2 — ах + b2 = О,
где а и Ь — длины данных отрезков. Корни данного уравнения будут:
*-т+УЩ^-ь+-.
Построение отрезков X1 и X2 дано на чертеже 145. Дадим и другое решение, основанное на формулах Виета: X1 -J" х2 =а,
X1 • X2 — O •
На отрезке AB = а, как на диаметре, строим окружность (черт. 146). Затем проводим прямую MN1 параллельную прямой AB и на расстоянии Ъ от нее. Отметим точку С, в которой пря= мая MN пересекается с окружностью. Опустим затем из точки С перпендикуляр CD
на AB. Длины отрезков AD Черт. 145
и DB дадут значения корней
данного уравнения (AD +DB= а\ AD - DB = CD2 = Ь2).
Решение возможно, если b < у .
Задача. Построить отрезки, длины которых равны корням квадратного уравнения:
X2 — ах — b2 = О, где а и Ъ — длины данных отрезков.
155
^=1-/(|-)2 + &2=4-«<о.
Черт. 146 Черт. 147
Строим окружность с радиусом -ц- и проводим к ней
касательную, на которой от точки касания А откладываем отрезок AB = b (черт. 147). Через точку В и центр окружности О проводим прямую и отмечаем точки С и D, в которых она пересекается с окружностью. Тогда OB = и, CB = и +
+ у = X1 и DB = и — Y = — *2-
§51. Точки, построение которых осуществимо циркулем и линейкой
Выберем систему координат на плоскости (E — единица измерения). Решим вопрос, какие точки плоскости можно построить при помощи циркуля и линейки.
Прежде всего мы заметим, что при помощи этих инстру-
т
ментов можно строить отрезки вида — E и перпендикулярные прямые. Отсюда следует, что при помощи циркуля и линейки можно построить любую точку, координаты которой принадлежат полю рациональных чисел.
