Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Возьмем инверсию с центром в точке А (черт. 141). Тогда искомая окружность К отобразится в прямую К\ касающуюся окружностей К\ и К'2, в которые отобразятся соответственно данные окружности. Отсюда вытекает следующее построение окружности К. Строим окружности К\ и К'2, инверсные окружностям Ki и K2, проводим, далее, общую касательную В'С к окружностям К\ и
147
К\ и отмечаем на них точки касания В' и С; находим на окружностях K1 и K2 точки В и С, инверсные точкам S' и С, и строим окружность /С, проходящую через точки A1 В и С.
Черт. 141
Окружность К — искомая. Действительно, прямая К' отображается при инверсии в окружность, проходящую через точки А, В и C1 т. е. в окружность К. Так как прямая К' касается окружностей К\ и К'2 в точках В' и С\ то окружность К касается окружностей K1 и K2 в точках В и С.
Так как две окружности имеют самое большее четыре общие касательные, то задача имеет самое большее четыре решения, но может не иметь ни одного решения (например, решений нет, если окружности K1 и K2 лежат вне друг друга, а точка А лежит внутри одной из них).
В целях упрощения окружность инверсии можно взять ортогональной окружности K1 (или K2), что осуществлено на чертеже 141. Тогда окружность К\ совпадает с окружностью K1-
Задача Аполлония. Построить окружность K9 касающуюся трех данных окружностей — K1, K2 и K3-
Решенную выше задачу можно рассматривать как частный случай задачи Аполлония, когда окружность K3 вырождается в точку А. К этому частному случаю легко свести задачу Аполлония.
Пусть надо построить окружность К, касающуюся окружностей K1 и K3 внешним образом, а окружности K2 —
148
внутренним образом. Будем считать, что окружность K3 имеет наименьший радиус (черт. 142). Рассмотрим окружность К\ концентрическую с окружностью К и проходящую через центр окружности K3- Она будет касаться окружности К\, концентрической с Ki и имеющей радиус, равный разности радиусов окружностей K1 и Ks. Она касается также окружности К\, концентрической с K2 и имеющей радиус, равный сумме радиусов окружностей K2 и /C3. Окружности К\ и К'2 легко построить. После этого строим окружность К\ проходящую через точку O3 и касающуюся окружностей К\ и /C2. Наконец, строим окружность /С, концентрическую с К' и с радиусом, уменьшенным на радиус окружности /(3.
Детальный анализ этой задачи показывает, что она может иметь любое число решений от нуля (нет решений) до восьми включительно.
ГЛАВА VII
ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ (продолжение)
§50. Алгебраический метод решения задач на построение
В задаче на построение среди данных элементов могут быть некоторые отрезки, углы и отношения отрезков. Данный угол можно заменить заданием трех отрезков —сторон треугольника, имеющего угол, равный данному. Данное отношение отрезков может быть представлено двумя отрезками. Таким путем можно все данные элементы свести к данным отрезкам а, Ь, /. Искомые элементы мы можем тоже таким же путем выразить через неизвестные отрезки X1 у, w и свести задачу к построению этих отрезков.
Под а, 6, /, X1 уj w будем в дальнейшем понимать также длины соответствующих отрезков при выбранной единице длины Е.
Черт. 142
149
Положим, что при помощи метрических соотношений длины неизвестных отрезков х, у, w выражены через длины данных отрезков а, Ь, /:
X = Д (а, Ь, /),
y = h (a, b, I)1
w = In(u1 b, I).
Пользуясь полученными формулами, часто оказывается возможным построить искомые отрезки при помощи выбранных инструментов. Выполнив эти построения, мы сможем построить саму искомую фигуру, т. е. решить задачу. В этом сущность алгебраического метода решения задач на построение.
Отметим, что fi (а, Ь, /) представляет всегда однородное выражение первой степени относительно а, о, /. Действительно, при гомотетии с коэффициентом k отрезки а, X1 у, w отображаются в отрезки Ua1 Hb1
kl, kx, ky, kw, но метрические соотношения между ними остаются теми же, т. е. будем иметь:
kx = Z1 (kay kb, kl),
ky = /2 (ka, kb, kl),
kw = fn (ka,
A
?
Черт. 143
kb, kl).
Задача. В окружности О проведен диаметр AB. На радиусах OA и OB, как на диаметрах, построены окружности O1 и O2. Построить окружность /С, касающуюся трех данных окружностей (черт. 143).
Пусть К — центр искомой окружности, С, P и Q— точки касания ее с данными окружностями О, O1 и O2, a — радиус данной окружности (OA = a), X — радиус искомой окружности (КС = KP = KQ = х).
150
Из прямоугольного треугольника O1ZCO имеем: O1K2 = O1O2 + OK2
или
(т + *Ыт)'+<—
Отсюда:
т. е. КС = -і ОС.
Построение окружности К свелось к делению отрезка ОС на три части.
Решение приведенной задачи оказалось простым, так как проста формула, выражающая искомый отрезок через данный. При решении других задач формулы для построения искомых отрезков могут оказаться сложными. Поэтому для успешного использования алгебраического метода надо уметь строить неизвестный отрезок X по формуле, выражающей его длину через длины данных отрезков. В школьном курсе рассматриваются построения отрезка х по следующим простейшим формулам:
