Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
139
через точки А, А'п В окружность Q. По доказанному точка В' лежит на этой окружности, которая ортогональна окружности инверсии.
Две пары взаимно обратных точек, не лежащих на одной прямой, лежат на окружности, ортогональной к окружности инверсии.
Из условия:
PA . PA' = PB . PB'
вытекает, что
PA PB'
PB PA''
Отсюда следует подобие треугольников APB и A'PB'. Поэтому
^PA'B' = ^PBA.
Этим свойством можно воспользоваться для построения без помощи окружности инверсии точки В'у инверсной точке B1 если задана пара взаимно обратных точек А и А'.
Из подобия треугольников РВА и PA'В' получаем:
А'В' _ РА/_ AB ~ PB'
Отсюда:
- PB Л0 - PA-PB ЛП - PA-PB Ла'
Если d— расстояние между точками Л и В, то расстояние d' между точками А' и В\ инверсными точкам А и B1 выражается формулой:
а ~ PA- PB а'
Легко проверить, что данная формула остается справедливой и в том случае, когда точка В лежит на луче РА.
§ 47. Инверсия прямой и окружности
Пусть дана прямая MN1 не проходящая через центр инверсии. Опустим на нее из центра инверсии перпендикуляр PA1 построим точку А'у инверсную точке A1 и на отрезке PA'у как на диаметре, построим окружность (черт. 131). Проведем, далее, из центра P произвольный луч, пересе-
140
кающий прямую и полученную окружность соответственно в точках В и В'. Так как А'В' ± PB', то
д РВ'Л'со АРАВ.
Отсюда:
PA' __ Р&_ PB ~~ PA1
или
PB' - PB = PA' - PA = R2,
т. е. точки В и В' — взаим- Черт. 131
но обратные. Любой точке 5
прямой MN соответствует точка В' окружности. Наоборот, любой точке В' окружности, отличной от центра Р, соответствует точка В этой прямой.
Таким образом, мы доказали следующие теоремы:
1. Прямая, не проходящая через центр инверсии, отображается в окружность, проходящую через центр инверсии.
2. Окружность, проходящая через центр инверсии, отображается в прямую, не проходящую через центр инверсиих).
Рассмотрим теперь инверсию произвольной окружности, не проходящей через центр инверсии.
Теорема. Окружность, не проходящая через центр инверсии, отображается в окружность, также не проходящую через центр инверсии.
Черт. 132
х) При этом мы должны считать, что центр инверсии удален из окружности.
141
Доказательство. Рассмотрим окружность O1, не проходящую через центр инверсии (черт. 132). Пусть прямая PO1 пересекает окружность O1 в точках А и В. Построим точки А' и S', инверсные соответственно точкам А и B1 и построим на отрезке А 'В', как на диаметре, окружность O2. Имеем:
PA' - PA = PB' . PB = R2.
Отсюда:
PA' __ PB' PB ~~ PA'
Зададим гомотетию с центром P и коэффициентом U1 где
lA I ~~ PB ~ PA ~ PA . PB'
При этой гомотетии точке А соответствует точка В\ а точке В — точка А'. Значит, окружность O2 гомотетична окружности O1 и P — центр их подобия.
Проведем теперь из центра P произвольный луч, пересекающий окружность O1 в точках M и N. Точки пересечения его с окружностью Ог обозначим через N' и M', причем N' обозначает точку, гомотетичную M1 и M' — точку, гомотетичную N. Соединим точку M с концами диаметра AB1 а точку M' — с концами диаметра А'В'. Кроме того, проведем радиусы O1M и O2N'. Так как O2N' \\ O1M1 то
^PO2N' = ^PO1M. Отсюда следует, что
^.P M'В' = ^PBM.
Из подобия треугольников PB'Mf и PMB следует:
PM' _ PB PB' ~ PM '
Отсюда:
PM' - PM = PB' - PB = R2,
т. е. точки M и M' — взаимно обратные. Таким же путем докажем, что взаимно обратными являются точки и N'.
Каждой точке M окружности O1 соответствует инверсная ей точка M' окружности O2, и наоборот, каждой точке M' окружности O2 соответствует инверсная ей точка M окружности Oi. Следовательно, окружности O1 и O2 являются взаимно обратными фигурами. Теорема доказана.
142
Следствие. Центр инверсии является центром подобия двух взаимно обратных окружностей.
Заметим, что если центр инверсии лежит вне окружности O1 и O2, то он является внешним центром подобия, а если внутри их, то внутренним.
Отметим также, что центры O1 и O2 не являются взаимно обратными точками при инверсии.
Задача. Доказать, что произведение диагоналей четырехугольника не превышает суммы произведений противоположных сторон его (теорема Птолемея) .
Пусть дан четырехугольник PABC (черт. 133). Проведем в нем диагонали
PB и Л С. Надо доказать, чт0 Черт. 133
PB . AC < PA . ВС -+- PC . AB.
Для этого возьмем инверсию с центром в вершине Р. Пусть точкам Л, В и С соответствуют точки Л', В' и С. Тогда имеем (§ 46):
R2
А'В' =
В'С
PA - PB
R2 PB . PC
AB1
BC1
Так как
А! С =
PA - PC
АС.
А'С <А'В f В'С\ то
R2
PA - PC
AC <
R2
PA . PB
AB-
R2
PB . PC
ВС.
После сокращения на R2 и умножения обеих частей неравенства на произведение PA • PB - PC получим:
AC . PB < PC - AB + PA - ?C
Равенство возможно только при условии, если точки Л', В' и С лежат на одной прямой. Это будет иметь место тогда и только тогда, когда точки P1 A1 В и С лежат на
