Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
При изменении положения точки M на отрезке AB один из отрезков AM и BM увеличивается, а другой уменьшается, вместе с этим изменяется и отношение этих отрезков. Отсюда следует, что на отрезке AB существует единственная точка My которая делит его внутренним образом в данном отношении X.
Докажем теперь, что вне отрезка AB существует единственная точка N9 которая делит его внешним образом в том же отношении X. Пусть N'—какая-либо точка луча BN. Тогда имеем:
AN' = AN± NN', BN' = BN ± NN';
1 Hh^
AN> AN ± NN' AN 1 - AN
BN' ~~ BN ± NN' BN л , NN' '
1 +
- BN
Так как AN > BN9 то
- AN ^ ~ BN >
и поэтому
AN' AN BN' ^ BN1
Т. Є.
AN' ^X
Если точки M и N делят отрезок AB одна внутренним, а другая внешним образом в одном и том же отношении, то говорят, что пара точек М, N гармонически сопряжена с парой точек А и В.
132
Из равенства (*) следует, что
MB ^MA NB "AN1
т. е. точки В и А делят отрезок MN одна внутренним, а другая внешним образом в одном и том же отношении. Это значит, что пара точек А и В в свою очередь гармонически сопряжена с парой точек MnN.
Рассмотрим теперь геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний которых от концов отрезка AB одинаково и равно X.
На прямой AB к этому геометрическому месту принадлежат точки MrNh только они. Пусть X — произвольная точка искомого геометрического места, отличная от точек M и N (черт. 123). Соединим ее с точками A1 B1 M и N. По предположению
AX _ AM _ AN _ у BX ~~ BM ~~ BN ~ '
Пусть биссектрисы внутреннего и внешнего углов с вершиной X треугольника AXB пересекают сторону его AB и продолжение ее соответственно в точках M' и N'. Тогда по свойству этих биссектрис:
AM' = ANT_ AX } BM' ~ AN ~ BX
Точки M' и N' делят внутренним и внешним образом отрезок AB в том же отношении X. Следовательно, они совпадают с точками MnN.
Мы доказали, что XM и XN — внутренняя и внешняя биссектрисы Д АХВ. Как известно, биссектрисы смежных углов образуют прямой угол. Значит, MXN — прямой. Поэтому точка искомого геометрического места X (если она существует) лежит на окружности, для которой отрезок MN служит диаметром.
Докажем обратное предложение: всякая точка указанной окружности принадлежит искомому геометрическому месту.
Пусть Q— центр этой окружности, a R— ее радиус. Так как AN > AM1 то BN > BM. Следовательно, центр Q лежит между точками BhN. Поэтому
AM = QA — R1 BM = R - QB, AN = QA + R1 BN = R + QB.
133
Из пропорции
AN _ AM BN ~ BM
находим:
QA+ R = QA-R R+ QB R-QB' Отсюда получим:
QA-QB= R2.
Возьмем произвольную точку окружности Y и соединим ее с точками А, В, M и Q. Тогда
QA-QB = QY2, QA QY QY QB-
Следовательно, Д QYA со д QYB и поэтому ^ QAY = = ^ QYB.
Далее получим:
^AYM = ^ QMY — ^ QAY,
^ BYM = ^ QYM — ^ QYB.
Отсюда:
AYM = BYM, т. е. YM — биссектриса Д AYB. Поэтому AY _ AM _ х BY ~ BM ~ '
Этим доказана следующая теорема.
Теорема. Геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний которых от двух данных точек плоскости AuB постоянно, представляет окружность; диаметром ее является отрезок MN, концы которого MuN делят отрезок AB внутренним и внешним образом в том же отношении.
Указанная окружность называется окружностью Аполлония в честь знаменитого древнегреческого математика Аполлония (жил около 200 лет до н. э.).
Задача. Построить треугольник по основанию AB= с, высоте h и точке M на основании, в которой его пересекает биссектриса противолежащего угла С.
Решение (черт. 124). Строим точку Af, которая вместе с точкой M даст пару точек, гармонически сопряженную с парой точек Л и В. Для этого можно воспользоваться по-
134
строением, данным в начале параграфа. После этого на отрезке MN1 как на диаметре, строим окружность. Это будет окружность Аполлония для отрезка AB. Затем на расстоянии А проводим прямую, параллельную AB. Точ-
ка пересечения ее с окружностью Аполлония дает вершину искомого треугольника.
Доказательство следует из свойства окружности Аполлония (AC1 : BC1 = AM : BM). Может быть самое большее четыре решения, которые состоят из двух пар симметричных относительно AB треугольников. Если же h > то задача решений не имеет.
Рассмотрим еще одно точечное преобразование, называемое инверсией.
Инверсией с центром P и коэффициентом k (k > 0) называется такое преобразование, при котором любая точка M1 отличная от центра P1 отображается в точку M', удовлетворяющую условиям:
а) точка M' лежит на луче PM;
б) PM - PM' = k2.
Напомним, что в данном равенстве PM и PM' обозначают длины соответствующих отрезков.
Таким образом, инверсия определена точкой P — центр инверсии, положительным числом k — коэффициент инверсии и отрезком E — единица измерения отрезков.
Из определения инверсии непосредственно вытекают следующие свойства ее.
1. Каждой точке M соответствует одна определенная
Черт. 124
§46. Инверсия
135
точка M', разным точкам M и N соответствуют разные точки M' и AT.
