Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 4

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 79 >> Следующая


Кроме термина «предшествовать», употребляется также термин «следовать за», причем фразы «точка В следует за точкой Л» и «точка А предшествует точке ?» означают одно и то же.

В упорядоченном множестве точек может существовать такая точка, которая предшествует всем остальным точкам, а также такая, которая следует за всеми остальными точками. Такие точки называются соответственно н а-чальной и конечной точками множества.

Всякое конечное множество точек легко сделать упорядоченным. Для этого, очевидно, достаточно перенумеровать, их и условиться, что точка с меньшим номером предшествует точке с большим номером. Опыт нам подсказывает, что бесконечное множество точек, принадлежащих одной прямой, также может быть упорядочено.

Свойства прямой, связанные с возможностью упорядочения множества ее точек, выражены в следующих аксиомах:

1. Множество всех точек прямой может быть упорядочено и притом двумя способами: если AuB — произвольные точки прямой и при одном из этих способов точка А предшествует точке B1 то при другом способе точка В предшествует точке А.

2. Упорядоченное множество точек прямой не имеет начальной и конечной точек (свойство неограниченности прямой).

3. Если на прямой точка А предшествует точке B1 то на этой прямой существует бесконечное множество точек, следующих за точкой А и предшествующих точке В.

Прямую, множество точек которой упорядочено, будем называть ориентированной или направленной прямой.

В силу аксиомы 1 каждая прямая может быть ориентирована двумя способами.

Если при этом на прямой точка А предшествует точке В, то будем говорить, что на данной прямой установлено направление от А к В.

9

Пусть на прямой даны три точки А, В и С и установлено направление от Л к С. Мы скажем, что точка В лежит между точками Л и С, если она следует за точкой Л и предшествует точке С.

Если мы установим на данной прямой направление от С к Л, то в силу аксиомы 1 точка В будет в этом случае следовать за точкой С и предшествовать точке Л, т. е. лежать между точками С и Л. Следовательно, принятое нами понятие «лежать между» не зависит от того, каким способом мы установим направление на прямой.

Из аксиомы 1 следует, что из трех точек прямой всегда одна и только одна лежит между другими. Пусть, например, Л, В и С — три точки прямой а, и на этой прямой установлено направление от Л к В (Л предшествует В). Тогда либо С предшествует Л, либо С следует за Л и предшествует В, либо С следует за В. В первом случае Л лежит между Си В, во втором С лежит между А и В и, наконец, в третьем В лежит между Л и С.

Из аксиомы 3 вытекает, что между двумя любыми точками прямой лежит бесконечное множество точек этой же прямой.

Теорема. Любая точка О прямой разделяет остальные точки этой прямой на два класса, каждый из которых содержит бесчисленное множество точек, следующим образом: точка О лежит между любыми двумя точками различных классов, но не лежит между двумя точками одного класса.

Доказательство. Возьмем, кроме точки О, еще какую-либо точку Л данной прямой и установим на этой прямой направление от О к Л (черт. 1). Все точки, которые следуют за точкой О, отнесем к первому классу, а точки, предшествующие точке О, — ко второму классу. В силу аксиомы 2 за каждой точкой первого класса следуют точки, ко-

в о л а ._L-

Черт. 1 Черт. 2

торые принадлежат этому же классу. Следовательно, множество точек первого класса бесконечно. Аналогичное заключение можно сделать для точек второго класса. Свойство точки О лежать между двумя любыми точками разных классов и не лежать между точками одного класса очевидно.

10

Если А и В — точки одного класса, то говорят, что они лежат но одну сторону от точки О, если А и В — точки разных классов, то говорят, что они лежат по разные стороны от точки О.

Совокупность точек прямой, лежащих по одну сторону от точки О, вместе с этой точкой называется лучом, выходящим из точки О (начало луча). Условное изображение луча дано на чертеже 2.

Точка О прямой а определяет два луча — h и k, выходящих из этой точки и принадлежащих данной прямой (черт. 3). Каждый из них называется дополнением другого до прямой.

Луч, выходящий из точки А и проходящий через точку B1 будем называть лучом А В.

Черт. 3 Черт. 4

Совокупность точек, лежащих между А и B1 вместе с этими точками называется отрезком AB] точки А и В называются концами отрезка, все остальные точки отрезка называются внутренними. Условное изображение отрезка дано на чертеже 4.

Черт. 5

Две точки А и В определяют на прямой а отрезок AB и два луча, выходящих из этих точек и не имеющих между собой общих точек (черт. 5).

§ 4. Понятие фигуры

Фигурой называется любое множество точек. Следовательно, фигурами являются отрезки и лучи. Прямую (плоскость) мы будем в дальнейшем считать также фигурой, представляющей множество точек, принадлежащих этой прямой (плоскости). Фигурой является также отдельно взятая точка.

11

Выделяя множество точек, обладающих определенными свойствами, мы этим самым определяем фигуру. Если фигура представляет множество всех точек, обладающих определенным свойством, то говорят, что данная фигура представляет геометрическое место точек, обладающих этим свойством.
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed