Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 3

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 79 >> Следующая


В аксиомах геометрии указываются свойства основных понятий геометрии. Мы можем сказать, что аксиомы геометрии этим самым определяют основные понятия этой науки в их совокупности.

В качестве дополнения к курсу элементарной геометрии в учебниках для средней школы А. П. Киселева и Н. А. Глаголева дается список аксиом, который является основой для логического построения курса теометрии. Это значит, что каждое геометрическое предложение, которого нет в списке аксиом и которое называется теоремой, может быть выведено чисто логическим путем из указанных аксиом, ранее доказанных теорем и принятых определений.

В этом списке имеются известные уже нам аксиомы, которыми мы пользовались в школьном курсе при доказательстве теорем. К ним, например, относится предложение: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. В то же время при первом знакомстве с некоторыми другими аксиомами у нас может возникнуть недоумение. Так, в одной из аксиом утверждается, что на каждой прямой лежит не менее двух точек. Почему не высказать утверждение в соответствии с нашими наглядны-

6

ми представлениями, что на каждой прямой лежит бесчисленное множество точек? Дело в том, что последнее утверждение является логическим следствием приведенных в списке аксиом, и поэтому оно включается в число теорем, т. е. доказывается. Вообще все предложения, которые мы можем доказать, исключаются из системы аксиом. В этом выражено стремление свести к минимуму число утверждений геометрии, принимаемых без доказательства.

Само собой разумеется, что построение курса геометрии на основе такой минимальной системы аксиом довольно сложно. Это построение проводится в курсе «Основания геометрии».

Система аксиом, приведенная в данном курсе, является избыточной, что облегчает изложение материала. Это значит, что отдельные из аксиом полностью или частично являются логическими следствиями других аксиом, т. е. могут быть доказаны.

Принятая в курсе система аксиом позволит нам приблизиться к строгому изложению, когда каждое утверждение геометрии, отсутствующее в списке аксиом и называемое теоремой, доказывается без ссылок на очевидность и наглядность.

§ 2. Аксиомы принадлежности

Рассмотрим сначала понятие принадлежности, которое обозначим знаком «С». Это понятие отражает определенные реальные отношения между теми реальными предметами, образами которых являются точки, прямые и плоскости. Употребляемые в геометрии выражения «лежит на» и «проходит через» являются синонимами понятия принадлежности. Понятие принадлежности взаимное. Фразы: «точка А принадлежит прямой а» (А С а) и «прямая а принадлежит точке А» означают одно и то же.

Понятие «принадлежать» определим следующими аксиомами:

1. Через две данные точки проходит одна и только одна прямая.

Иначе можно сказать, что любые две точки А и В принадлежат одной и только одной прямой а.

2. Каждая прямая проходит через бесконечное множество точек.

7

3. Существует бесконечное множество точек, не лежащих на одной прямой.

4. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Иначе можно сказать, что любые три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной и только одной плоскости.

5. Каждая плоскость проходит через бесконечное множество точек, которые не лежат все на одной прямой.

6. Если две точки данной прямой лежат на некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат на той же плоскости.

В этом случае мы говорим, что прямая принадлежит указанной плоскости. Если точка Л принадлежит одновременно двум прямым или прямой и плоскости, или двум плоскостям, то говорят, что эти объекты имеют общую точку А или пересекаются в этой точке. Если прямая а принадлежит одновременно двум плоскостям, то говорят, что эти плоскости имеют общую прямую а или пересекаются по этой прямой.

7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, проходящую через эту точку.

8. Существует бесконечное множество точек, не лежащих в одной плоскости.

§ 3. Порядок точек на прямой

Когда мы перемещаемся по какой-либо линии на местности, то встречаем предметы, лежащие на ней в определенной последовательности. Переходя путем абстракции к геометрическим понятиям, мы говорим о последовательности точек на линии при движении по ней в определенном направлении. Если на прямой даны две точки А и В, то при движении по ней мы можем сначала встретить точку Л, а потом В, или наоборот. В первом случае скажем, что на прямой точка А предшествует точке В, г. В следует за Л, что перемещение идет в направлении от Л к В.

Таким путем мы приходим к понятию порядка точек, принадлежащих одной прямой. Основываясь на нем, мы приходим к понятию «лежать между».

Множество точек называется упорядоченным, если для него установлено понятие «предшествовать», причем:

8

1) о любых двух точках этого множества можно утверждать, что одна из них и только одна предшествует другой;

2) если точки A1BuC принадлежат данному множеству и точка А предшествует точке В, а точка В предшествует точке C1 то точка А предшествует точке С (свойство транзитивности).
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed