Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Такие свойства стали формулироваться в виде предложений, истинность которых доказывалась. Было обращено большое внимание на методы доказательств геометрических теорем и решения задач. Например, трудами древнегреческих ученых разработан метод доказательства «от противного», метод геометрических мест точек при решении задач на построение и т. д.
Геометрия из собрания эмпирических правил стала превращаться в науку.
Впоследствии перед древними геометрами возникла проблема построения геометрии по следующему плану: вначале дать определения геометрических понятий и высказать относительно их без доказательства ряд утверждений (аксиомы и постулаты), которые должны являться отправным пунктом последующих рассуждений; все же остальные предложения геометрии (теоремы) — в определенной системе изложить одно за другим и доказать. Справедливость каждой теоремы должна быть установлена на основании ранее доказанных теорем и принятых без доказательства утверждений. Такого плана придерживался более 2000 лет назад знаменитый древнегреческий математик Евклид в своем замечательном труде «Начала», где было дано систематическое изложение основного материала элементарной геометрии.
Предметом геометрии, как и всякой другой науки, является изучение реального мира. Когда окружающие нас предметы мы изучаем с точки зрения их формы и взаимного расположения, то мы изучаем их геометрические свойства. При этом, естественно, мы должны считать другие свойства этих предметов (вес, окраска и т. д.) несущественными, безразличными для нас. Так возникают геометрические понятия.
Приведем выдержку из классического труда Ф. Энгельса «Анти-Дюринг», в которой предельно ясно сказано о происхождении геометрических понятий1):
1) Фридрих Энгельс, Анти-Дюринг, ОГИЗ, 1948, стр 37.
4
«Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было дойти до понятия фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало- быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины...»
В основе геометрии, как и в основе других наук, лежит опыт. Опытным путем были установлены геометрические свойства реальных тел. Путем абстракции от реальных тел мы перешли к геометрическим фигурам, а геометрические свойства реальных тел перенесли на созданные геометрические понятия. Одни из этих свойств оказалось возможным путем логических рассуждений вывести из других. Однако очевидно, что какой-то минимум указанных свойств мы должны принять без доказательства в качестве отправного пункта всех наших последующих выводов.
В результате абстракции реальных предметов возникли основные понятия геометрии. Отправляясь от основных понятий, мы строим новые производные геометрические понятия при помощи логических определений. При этом новые понятия выделяются из более общих понятий (родовое понятие) путем указания характерных для них свойств (видовое отличие). Пример: прямоугольник есть параллелограмм (родовое понятие), углы которого прямые (видовое отличие).
Каковы же основные понятия геометрии? Отправляясь от реальных предметов, путем абстракции мы приходим к понятию геометрического тела. Отправляясь далее от геометрических тел, мы приходим к понятию поверхности как границы между ними. Изучая свойства поверхности, мы забываем о самом геометрическом теле. Поверхность представляется существующей отдельно от тела. Далее, мы приходим к понятию линий как границ поверхностей
5
и к понятию точки, линии получаются при пересечении поверхностей, а точки — при пересечении линий. Линии и точки мы также представляем в качестве самостоятельных объектов.
Точки, линии, поверхности — это абстракции, но абстракции реального мира и потому имеющие реальное содержание. Для построения геометрии мы пользуемся простейшей линией — прямой и простейшей поверхностью — плоскостью.
Точки, прямые и плоскости являются основными понятиями геометрии. Свойства этих основных понятий, которыми мы пользуемся, в дальнейшем определяются в аксиомах, т. е. в утверждениях, принимаемых без доказательства. Аксиомы, как отмечено выше, имеют опытное происхождение.
Аксиомами определяются понятия принадлежности (точка лежит на прямой, прямая проходит через точку и т. д.), порядка (точка лежит между другими точками) и движения (наложение одного треугольника на другой и т. д.). Эти понятия являются также основными в геометрии. К ним мы приходим путем абстракции соответствующих отношений реальных предметов.
