Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если смежные углы равны, то каждый из них называется прямым углом. Их общая сторона называется перпендикуляром к прямой, образуемой двумя другими сторонами. Можно также сказать, что биссектриса развернутого угла является перпендикуляром к прямой, образуемой его сторонами.
Теорема. Если углы равны, то равны и смежные с ними углы.
Пусть (h, k) = ^. (I, т) и пусть ^ (h!, k) и ^ (/', т)— соответствующие им смежные углы (черт. 20). Пусть, далее, / — движение, при котором ^ (h, k) отображается в (I, tri). При этом движении развернутый ^ (h, К) отобразится в развернутый (I, /'). Отсюда следует, что ^(h', k) отобразится в ^ (V, т), т. е. ^ (h!, k) = ^ (V, т).
Теорема. Существует биссектриса любого угла и притом единственная.
Пусть ^ (A, k) отличен от развернутого и внутренняя его область выпукла. Отложим на его сторонах от вершины О равные отрезки OA и OB (черт. 21, а) и соединим точки А и В. В равнобедренном треугольнике AOB А = ^B (§ 8). Соединяя середину С отрезка AB с точкой О, получим равные по первому признаку треугольники Л ОС и BOC Следовательно, AOC = ВОС, и поэтому луч ОС — биссектриса (h, k).
Если (h, k) не является выпуклым (на чертеже внутренняя область его не заштрихована), то по предыдущей
Черт. 20
30
о)
В \
т
с Л
—
6}
t ^
<? /
Черт. 21.
теореме его биссектрисой является луч т, дополнительный к лучу /.
Из равенства треугольников ACO и BCO следует также^ что ^ ACO = BCO1 т. е. луч СО является биссектрисой развернутого угла со сторонами CA и СВ.
Пусть теперь дан раз-вернутый^(р,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый
ACB отображается в
(р, q). Луч СО отображается при этом в луч t. Так как ^ (р, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO и ^ACO= = (q, t), то (р, t) = = ^(q, t), т. е. t —биссектриса (р, q).
Пусть / — биссектриса
(A, A), а Г — произвольный луч, выходящий из вершины угла и лежащий во внутренней области его. Если Г лежит во внутренней области ^ (А, /), то ^ (А, /') <^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (А, /). Следовательно, ^ (А, Г) <^ (А, /'). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.
Следствие 1. Существует один и только один перпендикуляр к данной прямой, выходяищй из заданной на ней точки и лежащий в заданной полуплоскости, ограниченной этой прямой.
Следствие 2. Половины равных углов равны между собой.
Действительно, если ^ (А, А) = ^ (A', А'), то существует движение /, при котором один из них отображается в другой. По доказанной теореме их биссектрисы / и Г при данном движении также должны отобразиться одна в другую. Поэтому ^ (A, /) = ^ (A', Г).
Так как все развернутые углы равны, то частным случаем следствия 2 является предложение: все прямые углы равны между собой.
Прямые а и А, образующие при пересечении прямые углы, называются перпендикулярными (а ± Ь).
Отражение от прямой. Пусть прямая а лежит в плоскости а. Образованные при этом полуплоскости обозначим через X и р. (черт. 22). Возьмем на прямой луч А
31
выходящий из точки О. По свойству 6 движений (§ 7) существует единственное движение, отображающее луч h сам в себя и полуплоскость X в полуплоскость jx. Все точки этого луча по свойству 5 движений отображаются сами в себя. Все точки луча k, дополняющего до прямой луч h, тоже отображаются сами в себя.
Итак, при рассматриваемом движении все точки прямой а отображаются сами в себя. Легко, далее, видеть, что по-
Возьмем теперь точку вне прямой а.
Теорема. Через любую точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой.
Доказательство. Пусть M — точка, лежащая вне прямой а (черт. 23). Прямая а делит плоскость, определяемую этой прямой и
точкой М, на две полуплоскости: полуплоскость X, содержащую точку М, и полуплоскость jx. При отражении от прямой а точка M отображается в точку M' полуплоскости jx. Так как точки M и M' лежат в разных полуплоско-
стях, то прямые MM' и а Черт 23
пересекаются в некоторой
точке M0, которая при отражении отображается сама в себя. Отсюда следует, что прямая MM' отображается сама в себя, и поэтому углы / и 2, образованные ею с прямой а (см. черт. 23), отображаются один в другой.
луплоскость jx отображается при этом в полуплоскость X.
Рассматриваемое движение называется отражением от прямой а.
Черт. 22
Из существования биссектрисы развернутого угла следует, что через любую точку, лежащую на прямой а, всегда можно провести прямую Ъ, перпендикулярную к прямой а.
32
Значит, эти углы равны, а так как они, кроме того, смежные, то MM' ± а. Пусть теперь через M проведена другая пряхмая, пересекающая прямую а в некоторой точке Af0. Она отобразится в прямую M'N0, a ^ MN0M0 отобразится в M'N0M0. Итак, ^ 3 = ^i4. Но в силу аксиомы 1 (§ 2) чки M1 N0 и M' не лежат на одной прямой, и поэтому сумма углов 3 и 4, т. е. ^ MN0M', не является развернутым углом. Отсюда вытекает, что углы 3 и 4 отличны от прямого и прямая MN0 не будет перпендикулярна прямой а. Прямая MM' является, таким образом, единственной прямой, перпендикулярной а и проходящей через точку М.
