Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим два угла: ^ (h, k) и ^ (/, т). Если не существует движения, отображающего один из них в другой, то эти углы считаются неравными в силу общего определения равенства фигур. Если при некотором движении луч h отображается в луч /, а внутренняя область (h, k) при этом отображается в часть внутренней области ^ (/, tri), то считаем, что ^ (h, k) меньше (/, т) или что ^ (/, т) больше (h, k) (^. (h, k) <^ (/, m) или ^ (/, m) >-^(A, k)).
Нетрудно показать, что любые два угла: (h, k) и ^(I1 т) могут находиться только в одном из возможных отношений:
1) (Ji1 k) = (I1 т),
или
2) ^l(Ii1 k)> ^:(1, т), или
3) ^ (h, /г)< ^ (I1 т).
Кроме того, если (K1 &) (I1 m), a ^1(I1 т) >^(р, q)y
то (H1 К) > (р, q) (свойство транзитивности).
27
Перечисленные аксиомы дают возможность обосновать понятие сложения для отрезков и для углов, известное из школьного курса, и показать, что это действие над отрезками и углами обладает свойствами переместительности и сочетательности. Вычитание отрезков и углов определяется как действие, обратное действию сложения.
Рассмотрим теперь многоугольники. При движении контур многоугольника F, лежащего в плоскости а, отображается в контур некоторого многоугольника F', лежащего в плоскости а'. Плоскость а при этом отображается в плоскость а'. Отрезок, соединяющий любые точки M и N плоскости а, отображается в отрезок M'N' плоскости а'. Если отрезок MN пересекает контур многоугольника F1 то отрезок M'N' пересекает контур многоугольника F', и наоборот. Отсюда следует, что точки, принадлежащие одной области плоскости а, определяемой контуром/7, отображаются в точки одной области плоскости а', определяемой контуром F'; точки разных областей для контура F отображаются в точки разных областей для контура F'. Очевидно, что при этом область, не содержащая лучей, отображается в область, тоже не содержащую лучей. Следовательно, внутренняя область многоугольника F отображается во внутреннюю область многоугольника F'.
Проведенное рассуждение показывает справедливость теоремы: многоугольники равны, если равны их контуры.
Следовательно, чтобы установить равенство многоугольников, достаточно доказать существование движения, при котором контур одного многоугольника отображается в контур другого (общий признак равенства многоугольников).
Согласно общему определению равенства фигур два треугольника равны, если существует движение, отображающее один из них в другой. Очевидно, что углы одного треугольника отображаются в углы другого, и, следовательно, соответствующие углы этих треугольников равны.
Теорема. Если в треугольниках ABC и А'В'С ^A = ^lA' , AB = А'В' и AC = А'С, то эти треугольники равны (первый признак равенства треугольников).
Так как ^.A = А', то существует движение /, отображающее первый из этих углов во второй. Будем считать, что при этом движении луч AB отображается в луч А'В'.
При движении / точка В луча AB отобразится в точку В' луча А'В'. Тогда AB = А'В'. Но так как AB = А'В', то в силу первой теоремы данного параграфа точки В' и В"
28
совпадают. Такое же рассуждение показывает, что точка С при движении / отображается в точку С. Так как концы отрезка ВС отобразились при этом в концы отрезка В'С, то отрезок ВС отобразился в отрезок В'С (черт. 19).
Черт. 19
Контур Д ABC отобразился в контур Д А'В'С. Значит, и внутренняя область одного треугольника отобразилась во внутреннюю область другого. Итак,
/ (д ABC) = А А'В'С, т. е. д ABC = Д А'В'С.
Следствие. В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон, равны.
Пусть в Д ABC AB = AC Так как ^ ВАС = ^ CAB, то по доказанной теореме Д ВАС = дСЛБ. Это значит, что существует движение, при котором Д ВАС отображается сам в себя, а вершины В, А и С отображаются соответственно в вершины С, А и В. Отсюда следует, что ^iB =
Как видим, доказательство первого признака равенства треугольников по существу не отличается от обычного доказательства путем «наложения» треугольников, только вместо «наложения» мы говорим о существовании движения /, чем и раскрывается смысл этого термина. Если мы проследим за доказательствами остальных признаков равенства треугольников, то увидим, что все они будут теперь полностью обоснованы.
§ 9. Деление угла пополам. Перпендикулярные прямые
Определяя какую-либо фигуру, обладающую некоторыми свойствами, мы должны всякий раз показывать существование этой фигуры. Это в школьном курсе делается далеко не всегда, особенно в его первых главах. Остановимся сейчас на понятиях биссектрисы угла и прямого угла.
Если из вершины (h, k) выходит луч / и при этом образуются равные углы: ^ (h, I) и ^.(I, k), соединением
29
которых является ^ (h, k), то говорят, что луч / делит ^(A, k) пополам.
Луч, делящий угол пополам, называется биссектрисой этого угла.
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, две другие образуют прямую и эти углы не имеют общих внутренних точек (значит, каждый из них меньше развернутого).
Сумма смежных углов представляет развернутый угол.
