Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
т = q-s.
Но тогда
р = 2т + 1=2?-* -fl=(2s)*-fl
и так как q — нечетное, то (сумма нечетных степеней делится на сумму оснований):
р = (2sy + 1 = (2s + 1) (2^-1) — 2s^-2) +... + 1)
р, следовательно, не было бы простым числом.
59>
Поэтому m=z2k и, следовательно,
/, = 22*+1. (36)
Однако не всякое число вида (36) является простым. Простые числа получим прич? = 0, 1, 2, 3, 4:
3, 5, 17, 257, 65 537
— все это гауссовы простые числа. Но уже при к = Ъ формула (36) дает, как показал Эйлер, составное число;
р = 295 + 1 = 23*+ 1 = 4 294 967 267
делится на 641. Число 22° + 1 = 264 + 1 тоже составное (делится на 274 177). Исследованиями, ведшимися до последнего времени, найдено, что при & = 9, 11, 12, 18, 25, 36, 38 также получаются составные числа. До сих пор остается открытым вопрос для A = 7 и 8; таким образом, пока неизвестно, являются ли числа 2128 -j- 1 и 2256 +1 простыми или составными.
4. Рассмотрим теперь в качестве примера сначала уравнение JC5 — 1=0.
/? = 5-22 + 1; Ф5(;с) = ;с4 + л;3 + д:2 + я*+1.
Один из первообразных корней 5 есть, как мы видели выше, ^ = 2 и потому
g, ё\ g3> g*
сравнимы (mod 5) с
2, 4, З, 1.
Поэтому
% = 8 +а* и Ij1 = ««+в». (24)
Периоды Yj0 и Y]1 найдутся сразу по формулам
-1-/5
1о— з ' ^1- 2 * Замечая, что $4 = є_1 пишем
«+«-,=^,
«лн
2є2 + (1 — j/5) е + 2 = 0. Откуда (взяв, например, положительное значение корня):
_ —1 + )/5 + /')/'10 + 2)/5 s_ _ .
Остальные корни уравнения хъ—1=0 будут є2, є3, є4, (є5=]).
60
Для деления окружности на 5 равных частей (построения правильного пятиугольника) можно поступніь так. Возьмем решение уравнения хь — 1=0 в тригонометрической форме:
/ ч 2 Tz і . . 2 TZ
є (= S1) = cos — - -f-1 sin
5
, 4тг . . . 4тг
= cos —р—V-1 sin
5 о
6 тс , . . 6т: 4тг . . 4те
г3 = cos -—A-I sm — ~ cos -=--1 sin —
5 5 5 5
8тт . . . 8тт 2тг . . 2тс
є = cos — + г sin — = cos —--1 sin — .
5 1 5 5 5
Отсюда
2 тс 4 тг
Tj0 = є-f ?4 = 2cos —, Yj1 = є9 4- ?з — 2cos—•
О " о
И, следовательно, в частности
4 тс Yj1. —1_|/5
Тогда
cos
тс / 4тс\ 4тг i±i/5
- = cos(*-_)=-cos-=Jl^.
Из последнего равенства вытекает следующий способ построения правильного пятиугольника (черт. 5).
Берем окружность и проводим два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD. Радиус OB делим в точке E пополам. Проводим дугу с центром в точке E радиусом ЕС, пересекающую диаметр в точке F. Затем радиусом, равным BF с центром в точке В делаем засечку A1 на окружности. Дуга AA1 есть -^- часть 2гг
окружности--— .
Действительно,
ОЕ = ±; EC=V^x + 1 = ^Г~> EF=EC;
BA1 = BF= BE+ EF= 1 +УЪ
61
Из треугольника ABA1
cos / ABA1 = =
1 + 1/5
1 +/5
-!—L-— COS
5 '
таким образом ABA1=^—, а потому центральный угол
AOA1 =
2г.
Откладывая по окружности дугу АА1У строим искомый пятиугольник AA1A2 Ав A4.
Кроме изложенного, существуют, как известно, и другие способы построения правильного пятиугольника.
Рассмотрим в качестве второго примера уравнение х11 — 1=0. Для р=\7 одним из первообразных корней служит g = 3. Числа
1, g, g\ g\ g\ gb, и*6, g\ g*> g9, g10, gn, g12, gx\ gl\ gn
сравнимы, как мы видели, с числами
1, 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6.
^ P - Io
Составляем два —-— = 8-член-
Черт. 5.
ных периода
Чо = Є + Є9 + Є18 + Є« + в1в + ?8_|_?4._|_?2 ^ = г*+ Є™ + Є*+ Є11+S1^B1+В12+Є6-
T)0 и T)1 могут быть определены по формуле (23) как корни уравнения1):
X2 — х — 4 = 0.
Какой корень этого уравнения принять за T)0 и какой за Y)1? Это зависит от выбора є. Если за є принять первый корень, т. е.
є = S1 = cos — -f -1 sin — , то нетрудно видеть, ЧТО T)0 > о, a
1J Если готовой формулой не пользоваться, то сразу видим, что т0-|-
+ 1Ql = — 1 И НеПОСреДСТВеННЫМ ВЫЧИСЛеНИеМ убеЖДаеМСЯ, ЧТО T]O*= — 4
62
Yj1^O. В самом деле, заменяя є11 к через є к и замечая, что sft-f~
-|- є = 2 cos -уу видим, что Yj1 = 2 cos — -|- 2 cos -уу -f-. 12 тс . Л 14 т: ^ Л
+ 2 cos —гтг- + 2cos—— <"0. так как здесь 3 слагаемых отрица-1 17 1 17 ^
бтг Л ft 14 ті Л Зтс
ТЄЛЬНЫ И ЛИШЬ ОДНО-2 COS—>0, НО УЖЄ 2C0S-yy—-2COSyy
6 тс
по своей абсолютной величине больше, чем 2 cos—« Поэтому
— 14-1/17 —1—1/17
Чо=---> % =--Y~-•
Далее составляем четырехчленные периоды:
JZ0 = S +elS + e16 + s4 JT1=E9 -f 615+S8 +?а
JT2 = S3 -j-є5 -f.el4-j-e"
Л = Є«> + Є»+8' +eG
При этом
Составляем произведение у0 на Jj1.
_j_s9 +в»+є* 4-e* 4-
Поэтому j/0 и JJ1— корни квадратного уравнения
Корни этого уравнения разных знаков. За j;0 нужно взять пело*
ЖИТСЛЬНЫЙ КОреНЬ, ПОТОМУ ЧТО JZ0 = S —(— в-1 —|— S4 —J- Є-4 =:
2 тс 8 тс
= 2 cos — -J- 2 cos ^y- 3> 0. Следовательно,
.Уо — 2 '
Составляя произведение Jz2 на jz3, убеждаемся, что и j/3 • jz3 = — 1. А так как Jz2-^-JZ8 = T)1, то Jz2 и Jz3 удовлетворяют- квадратному уравнению:
У — ъу — 1 =0.
63
За нужно принять положительный корень этого уравнения, так как
j/3 = e3 + e з_|_?5_{_? o = 2cos—4-2COS —=
6 т: 7 ти ^
= 2 cos — — 2 cos — > 0.
