Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ВЗЯТ ПРОИЗВОЛЬНО. MbI ПрИМеМ TJ0 > 0 И Yj1 <0.
56
ным периодам обладают свойством: при подстановке в них вместо є какого-нибудь корня, входящего в состав периода yj'0, все 4 периода не изменяются; при подстановке вместо є корня, принадлежащего ПерИОДу V1, Т)'0 ПереХОДИТ В rflf Y]'J1 В Y)'3, Y)'3 В Y)'3 И Y)'3
в т/0; при подстановке корня, принадлежащего периоду y/2, yj'0 переходит в Y)'2, Yj'j — в y/3 ит. д. в циклическом порядке. В правильности этого можно убедиться непосредственной подстановкой. Докажем теперь следующее свойство этих периодов: каждая пара периодов y)'0 и y)'2 и rfu y)'3 удовлетворяет квадратному уравнению, коэфициентами которого служат рациональные функции от периодов T)0 и Y)1.
Возьмем, положим, пару Y]0' и yj'2. Относительно них нам известно (26), что сумма их равна Y)0. Составим теперь произведение T)V7IV Умножение будем производить указанным выше способом.
V0 V2 = (в + ^ + +...+ «О X X (er> + ^ _|_ е*10 _|_ ??Р~3) =
= ?l+g2 є U+g2)g4 е (!+Л8 -J- ... -J- ?(1+ЙР~5 4. (27)
о P-I
В полученном* выражении каждая из -— горизонтальных строк
представляет собой результат подстановки в период y/0 вместо є одного из чисел
?1+?2, ?H-^6,...?iUp""3, (28)
являющихся, как степени є корнями уравнения (12) и потому, входящих в состав того или другого периодов (14). [Ни одно из чисел (27) не обращается в 1, так как для этого было бы необходимо, чтобы 1-|"?*2(2*+1) = 0 (mod р)9 но это сравнение удовлетворяется
/7—1 р— 1
лишь при показателе степени, равном —, но^-^—-делится на 4,
а 2 (2?+1) ни при каком t на 4 не делится]. Поэтому каждая из горизонтальных строк в равенстве (27) оказывается равной некоторому Yj'.
Если предположить, что среди чисел (28) тг0 принадлежат
периоду y)'0, т\ — периоду т/1? т\ — периоду т/2 и m'B — rfB, то равенство (27) примет вид
Vo • V3 = ™'о. y)'0 + <.Vi + т'2 . V2 + m 'з. Y1V (29) Покажем, что т\ = т\ и т\ = т'ь.
57
Для этого составим произведение тех же периодов rf0 И Т)'2,
ft P —1
умножая Y)2 на rj0, при этом получим -—-—горизонтальных строк,
каждая из которых будет представлять собой результат подстановки тех же чисел (28) в период т)'2. Тогда, согласно, отмеченному выше свойству этих периодов, от подстановки тг0 корней, принадлежащих периоду Tj0 мы получим т!0 строк, равных каждая Y)'2, от подстановки т\ корней, входящих в состав периода г[и получим т\ строк, равных yj'3 и т. д. в циклическом порядке. Окончательно получим:
V2 • Vo = т'о • Va + т\ V3 + т*2' Vo + т'з • Vi- (30)
Сравнивая (29) и (30), получаем
т'о Vo+ т\ Vi+W2 V3 + т\ V3 = т'о Va+^'i V3+^'2 Vo+т'ъ V» или
(т'0 — /и'2) Vo + (т\ — /я'8) Vi = (/тг'0 — т\) Va + (W1 — m's)Vs. откуда
« - т\) (V0 - V1) + 0»'i - «'.XYi - Ч'і) = 0. (31)
Если предположить, что какой-нибудь из коэфициентов mf0 — т\ либо т\ — m's в равенстве (31) отличен от нуля, то мы бы имели, подставляя вместо г( их значения и упрощая, соотношение (с рациональными коэфициентами) не выше (р—2)-й степени, которому удовлетворяло бы є. А этого быть не может в силу неприводимости многочлена (12). Итак,
т'0 — т\ = 0 и т\ — т\ — 0, т. е. т'0 = т\ и т\ = т\. Поэтому из (29) получаем
Vo V* = т\ (Vo + V2) + т\ (Tf1 + V3) и, принимая во внимание (26), окончательно имеем
V0 V9 = ^040 + ^1?- (32)
А отсюда и из (26) следует, что Yj0' и Y]2' являются корнями квадратного уравнения
г3 — Y)0 г 4- (яг'о + < Чі) = 0 (33)
с коэфициентами, рационально зависящими от Y)0 и ті1#
Совершенно то же можно было бы показать и для другой пары периодов гД и т/з-58
Процесс образования периодов со вдвое меньшим числом членов продолжаем дальше. Составляем ^ ^ - членные периоды и так же„
о
как выше, показываем, что они являются корнями квадратного уравнения, коэфициенты которого рациональным образом зависят-от ? 1
—---членных периодов, и т. д. В результате, так как р — 1 = 2ту
после (т—1)-го деления мы получим двучленные периоды, каждый из которых будет являться корнем квадратного уравнения с коэфициентами, рационально зависящими от предшествующих (четырехчленных) периодов. Таков будет, в частности, первый из двучленных периодов:
^(т—1) —?_[_?? 2 в (34>
P-I
Замечая, что g 2 =—1 (mod/7) и обозначая, для краткости, T)0^—1) через ?, получаем
г + е-1 = $
или, окончательно,
еа—?е+1 = 0. (35)
?, следовательно, определится как корень этого последнего квадратного уравнения.
Таким образом, доказано, что є находится путем последовательного решения цепи квадратных уравнений.
Первообразный корень є двучленного уравнения хр—I=O (в случае, когда простое /? = 2т-)-1), а, следовательно, и все корни этого уравнения выражаются, как мы видим, в квадратных радикалах и могут поэтому быть построены циркулем и линейкой.
3. Сделаем теперь несколько замечаний по поводу гауссовых простых чисел, т. е. простых чисел вида
p = 2m-fl.
Прежде всего заметим, что число 2m —J— 1 может быть простым лишь в том случае, если показатель т сам есть степень двойки. Если бы это было не так, то т делилось бы на нечетное число q (<!)•••
