Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, алгебра событий 2 изоморфно отображается на алгебру измеримых множеств.
Определение 3. Случайной величиной ? называется переменная, значения которой ? = X образуют множество элементарных событий {| = А'}, т. е. значениями которой являются точки в пространстве выборок. Соответствующее распределение вероятностей называется распределением случайной величины ?.
Мы будем предполагать, что все действительные случайные ве-личппы задапы в интервале (—оо, оо); значения случайной величины, не соответствующие элементарным событиям А, рассматриваются как невозможные события и им приписывается вероятность 0.
Распределсппе действительной случайной величины ? задается ее функцией распределения
ФЬ(Х) ^ Ф(Х) ^ Р{? < X].
Действительная случайная величина ? называется дискретной, если вероятности
Р{1 = X} . Р(Х) = Р{| = X}
отличны от пуля только для счетного множества спектральных вначеиии X = -У(2) ¦•• Каждое дискретное распределение вероятностен может описываться, кроме того, функцией распределения
Ф,(Х) = Ф(Х) = Р(?<Х}= 2 /ЧХ<)-
*0)<*
Действительная случайная величина 5 называется непрерывной, еслп ее функция распределенпя Ф^(Х) = Ф(Х) непрерывна п цмест кусочно-непрерывную производную — плотпость распределения вероятностей величины |:
т ,. р1х<х<х+ АЛ <?Ф
В частности, если ф (I) = -—прпЦ — т)| <а и <р(1) = 0 при
1?— т]I > а, то такое распределение называется равномерным (прямоугольным).
Определение 4. Математическое ожидание (среднее значение) функции /(?) от дискретной или непрерывной случайной величины | есть
2 1 Р г^е сумма берется по всем спектраль-
? пым значениям дискрепюй случайной
величины ? (дискретный случай),
+°°
| /(1)ф(1)я? (непрерывный случай).
мі (І) =
¦ Математическое ожидание М% — ц п дисперсия Т>\ — о2 чайной величины ? определяются по формулам
• у \р (?) (дискретный случай),
т1
| ? ф (*) я? (иепрерывный случай);
Справедливы формулы
Щ = о2 = л/!*
Ч)г-
н2 = Al(t-l)
ilOl-l).
?
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
[х] — абсолютная величина числа х.
I о| — длина вектора а.
\АВ\ —длина отрезка AB.
\х[ —наибольшее целое число, не превосходящее X
(целая часть числа х).
{х} — {х} = X — [х] (дробная часть числа х).
]х\ —наименьшее целое число, большее или рав-
ное X.
[а, 61 — множество чисел х такнх, что а ^ х ^ 6; при
а < Ь это множество определяет отрезок числовой прямой с концами а и Ъ.
(я, Ъ) — множество чисел X таких, что а •< х < 6;
это множество определяет на числовой прямой интервал с концами я и Ъ.
(а, Ь] — множество чисел х таких, что я < х ^ Ъ.
fa, Ъ) — множество чисел х таких, что я ^ х < Ь.
В — множество действительных чисел.
R" —арифметическое n-мерное пространство, см.
стр. 161.
N — множество натуральных чпеел.
Z — множество целых чисел.
Zn —множество наборов (ai, ап) целых чисел
Ol, ..., яп.
Z2 — иоле вычетов по модулю два. Это поле состо-
ит из двух элементов Oui, причем операция умножения в нем обычная, а операция сложения отличается от обычной лишь тем, что 1 + 1 = 0.
п (mod к) — остаток от делеппя целого чпела п на нату-
ральное число к (т. е. такое пелое число m, 0 m ^ к — 1, что для некоторого целого / п = fei + m).
п = m (mod к) — целые числа nam пмеют одинаковые остатки от деления на патуральное число к.
ni — произведение всех натуральных чисел от 1
до п.
ch г- число сочетаний из п по к, см. стр. 197.
?03
— верхний предел последовательности (г,,), т. е. такое число а, что для любою е > 0 на интервале (а — е, а + е) лежит бесконечно много точек последовательности {д-,,}, причем все члены последоватслкностп кроме конечного их числа, лежат ниже точки а + е.
— нижний предел последовательности {х„}, т. е. такое число а, что для любого е > 0 на интервале (а — е, а + е) лежит бесконечно много точек последовательности {хГ1}, причем все члены последовательности {х„}, кроме конечного их числа, лежат выше точки а — е.
— предел в точке а справа, см. стр. 169.
— предел в точке а слева, см. стр. 1СЭ.
— отношение—^—— стремится к 1 при х —>- а.
в и)
i (з)
— отношение J ^ ' стремится к 0 при х -*¦ а.
— существует окрестность точки а, в которой от-
ношение 1{х) ограничено. В(х)
— точная верхняя грань множества действительных чисел А, т. е. такое наименьшее число а, что для любого х (= А выполнено х ^ а.
— точпая нижняя грань множества действительных чисел А, т. е. такое наибольшее число а, что для любого х с= А выполнено х ^ а.
— объединение множеств А п В, см. стр. 159.
— пересечение множеств А и В, см. стр. 159.
— разность множеств А и В, см. стр. 100.
— симметрическая разность множеств А и В, см. стр. 160.
— дополнение множества А, см. стр. 100.
— замыкание множества А, см. стр. 162.
— скалярное произведение векторов а а Ъ, см. стр. 198.
— векторное произведение векторов а и Ъ см стр. 198.
— смешанное произведение векторов я, 6 и с, см. стр. 198.
— норма (длина) вектора х, см. стр. 191.
— размерность линейного пространства l, см. стр. 188.
— функция, вначенпем которой в точке I (х>, ..., хп) служит вектор
