Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
= — («, IV, V) = ¦ (к, в) (и, и) (в, 10)
(10, и, к).
(и, V, IV)2 =
(V. и) {V, V) (V, IV) (IV, и) (IV, V) (IV, IV)
Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.
Гомотетией пространства (плоскости) с цептром А и коэффициентом растяжения к > 0 называется такое отображение пространства (плоскости) па себя, при котором:
1) точка а остается пеподвпжной;
2) всякая точка В Ф А переходпт в точку В' такую, что АВ'—у = к~ЛВ.
Кривые п поверхности второго порядка определяются уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Общее уравненпе кривой второго порядка имеет вид
ацх2 + 2а,2ху + я22и2 + 2я]3х + 2аюу + я33 = 0, (1)
а общее уравнение поверхности второго порядка — вид я,IX2 +я221/2 + я33г2 + 2я,2хи + 2я,3ха + 2я23у2 +
+ 2а14* + 2я24и + 2я342 + я44 = 0. '(2)
Каждая кривая второго порядка, имеющая хотя бы одну действительную точку, в подходящей прямоугольной системе координат описывается свопм каноническим уравнением:
а) невырожденные кривые:
1)
+
2) -^г
3) У2 =
У
ь2 ь2
= 1-= 1
¦эллипс с полуосями я п Ь,
- гипербола,
2рх — парабола (р > 0);
б) вырожденные кривые:
х* у2
4) -?ї- + "[Г = °— точка,
ха у2
5) —2~ — ~/ а = "— две пересекающиеся прямые,
х"
в) -7Г
= 1 — две параллельные прямые,
7) х2 = 0 — прямая.
Если (хх; ух) — точка привой второго порядка, заданной уравнением (1), то касательная к этой кривой в точке (хй у\) опреде-; ляется уравнением
(аихх + ах2Ух + а\з)х + (я21*1 +я22«| +я23)н +
+ (яз!*! + Язгя, + я33) = 0. (3) Уравнение нормали к этой кривой в тайной точке пмест вид
X — Хх у — .V]
«11*1 + а12У1 + а13 °2|<Т + «22*71 + °23'
Если (х^ ух) — произвольная точка плоскости, то прямая, определяемая уравнением (3), называется полярой точки (хх\ ух) относительно данной кривой второго порядка; точка (х,; у,) называется полюсом этой поляры. Можно показать, что если точна Р лежит на поляре точки О, то и точка О лежит па поляре точки Р. Такпм образом, если через точку можпо провестп две касательные к кривой второго порядка, то поляра этой точки проходит через точки касания.
Каждая поверхность второго порядка, содержащая хотя бы одну действительную точку, в подходящей прямоугольпой системе координат описывается своим каноническим уравнением: а) невырожденные поверхности: хя у2 , г2
= 1 — эллипсоид с полуосями а, Ъ, с,
1) 2) 3) 4)
„Я + Ь2 + '
а3
я2 у* а2 + Ь2
Л1
Ъ2
Л. Я
Р Я б) вырожденные поверхности
?/2 ь2
X2
5) т-
1—однополостный гиперболоид, 1—двуполостный гиперболоид, — эллиптический параболоид,
—— — 2г — гиперболический параболоид;
6) -Г +
Г2
+
X'
7) +
11 Ь2
• = 0-= 0-
точка.
конус,
198
— эллиптический ци гиндр,
— гиперболический цилиндр,
— прямая,
— две псресекаюи\иеся плоска ги,
— параболический цилиндр,
— две параллельные плоскости,
— плоскость.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Выше уже говорилось, что в теорпп вероп гпостей события можно рассматривать кап множества некоторого измеримого и рост-ране гва X.
Алгебра событпп, связаппая с данным пепьпаннем, обладает тем свойством, что для класга 2?о ее возможных исходов (событий) имеют смысл следующие определения:
1. ОбъединениеА1 0 Аг и ...последовательности событпп Аи А2, ... состоит в осуществлении хотя бы одною из событии А\, А2, ...
2. Совмещение (произведение) А1 П ЛгДвух событии есть событие, состоящее в осуществлении событий А\ и А2.
3. Дополнение (отрицание) А' есть событие, состоящее в неосуществлении события А.
4 Достоверное событие Е состоит в осуществлении хотя бы одного события из указанного класса й'с-
5. Невозможное событие О состоит в том, что не осуществляется ни одно из событий класса 9?0.
Обозначим через 9? класс событий, состоящий пз нласса 3?0 п О.
Определение 1. Вероятностью Р(А) события А называется определенная на 2 одпозначная действптельиая функция, удовлетворяющая аксиомам:
1. Р(А) > 0 для любого события А е= 2. \ 2. Р(Е) = 1 для любого достоверного событпп.
3. Р(А1[) А2\\ ¦)= Р(А,) + Р(А2)+ ... для любой последовательности попарно несовместимых событий А„ А3, т. е. таких, что А{{] А1 = 0при I Ф /.
Из сказанного выше следует, что Ог^Р(И) ^1 для любого У1б2', Р(0) = 0 для любого невозможного события О; из равенства Р(А) — 1 или Р(А) = 0 не следует, что А достоверное событие или невозможное.
Определение 2. Условной вероятностно Р(Л|Л,) события А при условпи осуществления события А: называется вероятность, определяемая из соотношения
Р(А П А1)=Р(А1)Р(А\А1). Вероятность Р(Л|^41) не определена, если Р(А.) — 0.
Два события А, и А2 называются независимыми, еслп
6) я-* а2 = 1
8) X2 = 1
а2 ъ2
10) ! 1,2 = 0
а2 I ^2
11) я» а2 У3 ь2 = 0
12) 13) У* = X1 а* 2рх = 1
14) х2 =1
200
Пусть Л|, А2, ...^последовательность попарно несовместных событий таких, чю А1 и А2 [) ... = Е. Тогда для каждой пары событии Л{ и А имеет место формула Байеса
Каждый класс 2 событий А может быть представлен как множество М попарпо песовместных событий А Ф 0 так, что каждое событие А есть объединение некоторого подмножества событии пз М. Множество М называется пространством выборок или множеством элементарных событий, связанных с данным испытанием. Каждое множество элементарных событий А пз М соответствует некоторому событию А. В частности, само М соответствует достоверному событию, пустое множество — невозможному событию. Вероятности Р(А) есть значения некоторой счетно-аддитивной (или аддитивной) функции множества, определяющей распределение вероятностей в пространстве выборок.
