Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
П». Наименьшее Положительное общее кратное Чисел и|, ...
Пк обозначается [п,, п2, ..., пц]. Имеет место соотношение гпп
[ш, п] — ——ч. Если (пг, п) = к, то для люоого целого р сущест-вуют такие целые х а у, что тх + пу = кр.
13*
195
Целое число р, большее единицы, положительные делители которого исчерпываются числами 1 и р, называется простым. Множество простых чисел бесконечно; каждое положительное целое число п единственным образом представляется в виде п =
•~рнп...ркя, где Р1 < Рг < ••• < Р*. Рг — простые числа, т, —целые положительные числа. Это представление называется каноническим разложением числа п на простые сомножители. Множество положительных делителей числа п исчерпывается числами вида
Р1'"'РЪ где 0 ^ '* т''
Пусть п — целое положительное число. Чпсло целых положительных чпсел, не превосходящих п и взаимно простых с п, обо-
вначается ф(п) (функция Эйлера). Если л = р™1 ... /^—каноническое разложение п на простые сомножители, то
Пусть m, п — целые числа, к — целое положительное. Еслп А- | m — п, то числа т и к называются сравнимыми по модулю к, что обозначается m = и (mod к). Если m — целое число, большее единицы, и (п, т) = 1, то n'l'") в l(mod m) (теорема Эйлера). В частности, еслп р — простое и и не делится на р, то ир_| =з Eal(modp) (теорема Ферма).
Для произвольного вещественного числа г посредством \х] обозначается наибольшее целое число, не превосходящее х; [х] называется целой частью числа х. Величина
{х} = х — [х]
называется дробной частью числа х.
Показатель, с которым данное простое чпсло р входит в разложение числа п] на простые сомножители, равен
[п "1 Г п 1 Г л р + |73'J + [7r
4
Пусть И— некоторое конечное мпожество. Перестановками будем называть упорядоченные выборки элементов М; сочетаниями — неупорядоченные выборки элементов М. В перестановках и сочетаниях можно как допускать повторения одинаковых элементов из М, так и не допускать таких повторений. Число перестановок без повторений ив п элементов по к обозначается Р„ и равно —п^ Число сочетаний без повторений и» п элементов по к (п— к)1'
обозначается С„ и равно ——-— Число перестановок с повторе-
к\ (п — к)\ '
ниями ив п элементов по к равно и*. Число сочетаний с повторениями из п элементов по к равно для вывода этой формулы полезно заметить, что число сочетаний с повторениями из п элементов по к равпо числу решений в целых неотрицательных числах уравнения к = х1-\-х2-\- ... 4 хп. Имеют место следующие
соотношения!
(х + = v c,yyi-ft. cl + с*,, = 2 сп = 2",
А=0 ft=0
2(-'i,ftC*=0, 2(-1)*-АС? = 0, п>1,
ft=0 ft=l n m
ГЕОМЕТРИЯ
Любые две точки А и В трехмерного пространства, взятые в определенном порядке, так что, например, А является первой, а В— второй точкой, определяют направленный отрезок с началом А и концом В, или вектор АВ. Еслп А = В, то получаем нулевой вектор: О = АА. Два вектора АВ и СО называются равными, еслп их монета совместить друг с другом путем параллельного переноса. Длиной вектора АВ, обозначаемой | АВ |, называется длина отрезка АВ. Если А, В, С — точки пространства, то вектор АС называется суммой векторов АВ и ВС: АС=АВА- ВС. Если X— действительное чпсло и АВ—вектор, то вектор АС, получающийся умножением АВ па X: АС = ХАВ, есть такой вектор, что \АС\ — \Х\\АВ\, при* чем С лежит па прямой АВ по ту же стороиу от точки А, что и В, в случае 7. > 0 и но другую сторону от этой точки при % ^ 0. Векторы образуют абелеву группу по сложению; выполняются также следующие соотношения:
Я. (ы + р) = Хи 4- Хо, (Х14- Х2) и = Х,ц 4 Х2и, ХІ(Хги) = (Х1Хі)и.
Под углом между векторами АВ и АС понимается угол ВАС, по величине заключенный между 0 и я.
Скалярным произведением векторов ни V называется чпсло, равное произведению длин этих векторов иа косинус угла между ними; оно обозначается (« V) и обладает следующими свойствами: (ы, V) = (V, и), (и, і>4 IV) = (и, V) 4 (и, у), (Хи, V) = X (в, о), (в. и) = | и Iа,
(в, V) = 0 тогда и только тогда, когда векторы в, с перпендикулярны между собой.
Векторным произведением вектора АВ па вектор АС называется вектор длина которого равна произведению длин векторов
197
АВ п АС на спнус угла между ними; этот вектор перпендикулярен
плоскости, в которой лежат векторы АВ п АС и направлен в ту
сторону, откуда поворот от АВ к АС на угол, не превосходящий я, виден против часовой стрелки. Векторное произведение вектора и на вектор и обозначается и х V, оно обладает следующими свойствами:
ихо = — иХи, их(г-г-ю) =ихи-\-ихю, (1и) XV = I (uxv), ихи = 0; (и, uxv) = (и, ихи) = 0.
Если О — начало координат п х, у, г, а, В, , — координаты точек Л я В, то
О А X ОБ = („у - гР) * + (=а - XV) / + (хР - уа)к=
і у к
хуг а Р у
где і, у", Л — векторы единичной длины, направления которых совпадают с направлениями осей Ох, Оу и Ог соответственно.
Смешанным произведением (и, V, ю) векторов н, V и ссназывается величина [и, V X ю). Смешанное произведение обладает свойствами:
(и, V, IV) = (V, IV, и) = (IV, и, и) = — (и, и, ю) =
