Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
f(x) =11*11,
удовлетворяющую условиям 1)— 3), т. е.
1) /(* + У) < /(*) + f(y) Для всех хну из Л';
2) 1(ах) = |a|/(i), * е N, а е /';
3) f(x) > 0, х Ф О, Р — поле чисел.
Если Р — поле действительных чисел, то пространство называется действительным, если Р — поле комплексных чисел, то пространство Л" — комплексное нормированное пространство.
Каждое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое пространство, в котором функция p(i, у) определена так:
р(*. У) — /(* -У) = II* — vt
Определение 12. Банаховым пространством В называется нормированное пространство, полное относительно метрики р(*. у) = II* — J/Ili определяемой его нормой.
Примерами бапаховых пространств могут служить метрические пространства такие, как Л'", С[а, Ь], С [а, b], п 3? 1.
В пространстве R" и его бесконечномерном аналоге — гильбертовом пространстве норму (расстояние между элементами) задает так называемое скалярное произведение, которое позволяет также ввести понятие ортогональности двух векторов.
Рассмотрим так называемые гильбертовы пространства. Данное определение пригодно как для случая коиечномерного линейного пространства, так и для бесконечномерного (первые называются также конечномерными евклидовыми).
Определение 13. Гильбертовым npociранстеом называется множество И элементов /, g, Ii,..., обладающее следующими свойствами:
1) U представляет собой лииейпое пространство, т. е. в // определены действия сложеппя п умножении па действительные или комплексные числа (в зависимости от этого Н называется действительным или комплексным пространством).
2) Н является метрическим пространством, причем метрика вводится с помощью скалярного произведения, т. е. числовой функции (/. g) от пары аргументов / и g, называемой их скалярным произведением и удовлетворяющей аксиомам:
а) ("Л g) = а(/, g) для любого числа а;
б) U + g, h) = (/, h) + (g, h);
191
в) (/, в) = Lg. /):
г) (/, /) > 0 при / ф 0; (/, /) = 0 прп / = 0. Норма Ц/11 элемента / определяется равенством
11/11= (/,/)"2,
а расстояние между элементами / и g полагается равным Р(/. g) = \\f~g\l
3) Н является полным пространством, как метрическое пространство с выше введенным расстоянием. (Конечномерное пространство всегда полно.)
Возьмем произвольные элементы /, {е Я; пусть К — действительное число, тогда
о*? (f + 4f,g)g,f+Mf,g)g) =
= (/, л + 2*i (/, g) 14- **i (/, g) п (g, g) i,
следовательно, такой многочлен относительно % не может пметь различных действительных корней, отсюда вытекает, что
1(/,«г)14-(ЛЛК/, *)!*(*, g)^o.
Таким образом (даже в случае (/, g) =0), К/. ?)l2< (/,/)(?,?),
или
I (/, g) I < 11/11 11*11.
Мы полумили неравенство Ноши — Бунякоеского. Знак равенства в нем, помпмо тривиального случая / = 0 пли g — 0, достигается только тогда, когда / = —Я(/, g)g при некотором значении X, т. е. когда векторы fag коллпнеарны.
Используя это неравенство, легко проверять, что норма / п расстояние р (/, g) = [|/ — g{\ удовлетворяют всем аксиомам, входящим в их определение.
Вместе с метрикой в гильбертовом пространстве появляются понятия, связанные с предельным переходом в смысле введенного расстояния.
Наличие скалярного произведения позволяет ввести в Я понятия угла между векторами (Я — действительно)
cos,Pg)- (/,g)
Это понятие в свою очередь позволяет назвать два вектора ортогональными, если они образуют угол в 90°. Другими словами, векторы / и g называются ортогональными, если (/, g) — 0.
Если вектор / ортогонален векторам g,, ..., g„, то он ортогона-
лен п пх лпнейной комбинации ^ a/#j.
Если векторы g„ g„, ... ортогопальны вектору / п g = = lim#n, то вектор g ортогонален вемору /.
п-»оо
Из сказанного следует, что совокупность всех векторов, ортогональных векторам /,, ...,/„ (и — фиксировано) образует замкнутое линейное многообразие, т. е. подпространство — ортогональное дополнение к множеству {Ju ,..J„}.
Пусть /У| п n2 — два нормированных пространства. Определение 14. Оператор А: А'\—»¦ Л'2 называется ограниченным, если существует такая постоягпая М, что
для любого X = Л'|.
Здесь Л"| и Л'г — два нормироваппых пространства, запись Ц.Аг[|де и Ца:||^ означает, что нормы берутся в пространствах Л'2 п Л'! соответственно. В тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, индексы Л'2 п Л1! внизу опускаются.
Справедливо утверждение. Пусть IV, и Л'2 — два нормированных пространства, А — линейный оператор, отображающий Л| в Л'2, тогда для того, чтобы он был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.
Определение 15. Пусть А — лпнейиый ограниченный оператор, отображающий одно нормированное пространство в другое Л72. Нормой ||Л || оператора А пазывается наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию
\\Ах\\ < М Ы\.
Таким образом, по определешно порма ц-4ц оператора А обладает двумя свойствами:
а) для любого х е Л'|, ||Лг|| ^ ||л4|| 11*11;
б) для произвольного е> 0 существует элемент хг такой, что Х1И11 -е)Ы1.
Определение 16. Оператор А*, действующий в гильбертовом пространстве, называется сопряженным к ограниченному оператору А, если для любых /, ? ей выполнено равенство
