Задачи студенческих олимпиад по математике - Садовничий В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Преобразование А~х называется обратным по отношению к А, если
А-'А = АА-* = Е
•— тождественному преобразованию.
Если А — линейное преобразование, то определители матриц преобразования А относительно любых двух базисов равны между собой, их общее значение называется определителем преобразования А и обозначается А = аЫЦодП.
Линейное преобразование Вп в себя называется невырожденным, если для него существует взаимно однозначное обратное преобразование.
Справедливо утверждение. Для того чтобы линейное преобразование было невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы его определитель был отличен от нуля.
Пусть ||од|||<ь з<п — квадратная матрица. Алгебраическим дополнением Ац элемента ац называется произведение (—1)'+' па определитель (п — 1)-го порядка, получающийся из матрицы ||я,-,|| вычеркиванием 1-й строки и /-го столбца. Имеет место разложение
1=1 >=1
Если А — невырожденное преобразование с матрицей ИодИко )¦<«. то матрица Цб^Нкьпреобразования А~1 отпо сительно того же базиса получается по формуле
ъ А" ьи-сЫ|«ц|-
Здесь А'1 — обратное преобразование. Матрица \\Ьц1 является обратной по отношению к матрице ||од||.
Если у данного преобразовапня А имеется п линейно независимых собственных векторов, то в базисе, состоящем из собственных векторов, матрица преобразования имеет диагональный вид.
Если же у преобразования А в n-мерном векторном комплексном пространстве имеется к (к ^ п) лпненно независимых собственных векторов
в|, /|, ..., h\,
отвечающих собствепным значениям %i, А2, ..., Ак, то можно ук. вать базис, состоящий из к групп векторов
ей .... е„\ /,, ...,/„; hi, .... h,\ р + g +-... + s = п,
в котором матрица преобразования пмеет вид (так называемую жорданову нормальную форму):
Ае\ = %teu Ае2 — ei + %1в2, Аер = ep-i + %\ер;
Ah = i2i1, Af2 = /, + A2h, ..., Ajq = 7g_i + A2/q;
Ahl — Khhi, Ah2 = hi -f- Khh2, Ali, = ks-i + Xu1',.
ю
Каждая группа базисных векторов порождает подпространство, инвариантное относительно оператора А. В каждом таком подпространстве имеется собственный вектор (например, в подпространст-
189
ве, порожденном векторами си еР, собственный вектор есть ei), вектор еп, 1 < и < р, называется присоединенным порядка п.
Клетка матрицы (жордаиова клетка), отвечающая данной группе векторов, имеет вид
Л, 1 о ... о о /О ^ 1 ... о о
1 О О О ... *1 1 \0 О О ... О ?ч
Вся матрица оказывается составленной пз такпх клеток порядков р, д, я соответственно.
Отображение / группы С па группу С] называется изоморфизмом, если оно взаимно.однозначно п сохраняет операцию умножения, г. е. /(*, у) = /(*)/(;/) для всяких двух элементов х и у мл С. Можно рассматривать изоморфные отображения группы С на себя. Такпе отображения называются автоморфизмами группы С.
Если в определении изоморфизма отказаться от взаимной однозначности, то такое отображение группы С на группу 0\ называется гомоморфизмом. Гомоморфизм / сохраняет только операцию умножения. Множество /"'(вт) всех элемептов группы С, отображающихся в единицу в\ группы Ои называется ядром гомоморфизма.
Изоморфизмы, автоморфпзмьт, гомоморфизмы без изменений определяются и для других математических моделей (т.е. множеств объектов и операций над ними), например,для кольца и т. п.
Определение 8. Кольцо К называется телом, если пену-левые элементы кольца составляют группу по операции умножения, определенной в кольце. Если умножение в кольце коммутативно, то тело называется коммутативным (полем), в противном случае некоммутативным.
Единица е отмеченпон выше группы называется единицей тега. Элемент е, рассматриваемый как- элемепт аддитивной группы К, имеет некоторый порядок р, число р называется характеристикой поля (заметим, что порядком р элемента а группы й называется такое наименьшее число />, что а? = е, где е — единица группы <5; порядок элемента может быть и бесконечным).
Определение 9. Отображение А одного линейного пространства над полем Р в другое лнпеГшое пространство I? над тем 1ке полем Р называется линейным оператором и обозначается:
А: —г- Ь3,
есчп выполнены следующие аксиомы:
1) А(х + у) = А(х) + А(у), или А(х-\- у) = Ах 4- Ау для любых х и у из 2^,;
2) А(ах) -= аА(х), пли А(ах) »= аАх для любого и любого а в Р.
Если Ь\ «= Ьг «= Ь, то А называется линейным оператором в пространстве Ь.
Определение 10. Оператор А: —*¦ ?2 называется функционалом, если ?2 сг Р. Таким образом, функционал — это оператор, пространство значений которого есть числовая ось или комп-пексная плоскость, пли их часть. Множество элементов {х), которые функционал переводит в нуль, называется ядром функционала.
)
190
Определение 11. Линейное пространство /V называется" нормированным, если каждому iea сопоставлено неотрицательное действительное число \\х\\, которое называется нормой элемента х, причем справедливы следующие аксиомы:
1) II* + г? 11*11 + \\у\\ для всех х п у из Л';
2) ||ai|[ = |а[|!х|| для любого .. е Л' и а е Р;
3) ||i Ц > 0, если х Ф 0.
Задать на линейном пространстве норму — значит определить пеотрицательпую действительную функцию
