Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
л
(6) г" j Pn (w) I j f (z) I < JL j I (fP) (z + re*w) I dQ.
-я
Если мы проинтегрируем неравенство (6) по мере On, то будем иметь
(7) \f(z)\ < Ar-^~ j Qd J I (/P) (г + rtPw) I Ar11 И.
Но мера су„ инвариантна относительно замен переменных w—>ei6w. Следовательно, внутренний интеграл в (7) не зависит от 6. Это дает (1). Q
8.4. Теорема. Пусть P — полином от п переменных, v?@)' (R"), ¦причем V имеет компактный носитель. Тогда уравнение
(1) P(D)u = v
-в том и только в том случае обладает решением с компактным носителем, когда найдется такая целая функция g в С", что
(2) Pg = v.
Если последнее условие выполняется, то уравнение (1) имеет единственное решение и с компактным носителем, причем носитель этого распределения и лежит в выпуклой оболочке носителя распределения v.
224
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Доказательство. Если уравнение (1) обладает решением и с компактным носителем, то, согласно утверждению (а) теоремы 7.23, соотношение (2) выполняется при g = u.
Обратно, предположим, что соотношение (2) выполнено для некоторой целой функции g. Выберем такое г > 0, что носитель распределения v содержится в шаре r? = {x^R": По
лемме 8.3 из (2) вытекает, что
(3) \g(z)l<A J \d(z + w)\doa(w) (z?Cfi).
Согласно утверждению (а) теоремы 7.23, существуют такие N и у, что
(4) \d(z + w)\^y(l+\z + w\)Kexp\r\lm(z-j-w)\}. Имеются такие константы C1 и са, что
(5) 1+|2 + юКсж(1+|г|) и
(6) I Im(z-f-oO К cs +1 Im г I
для всех z ? С" и w ? Тп. Из этих неравенств вытекает, что
(7) |^(2)|<С(1 + |г|)^ехр{/-|1тг|} (г?С»),
где С—новая константа (зависящая от 7, A, N, C1, C2 и г). В силу неравенства (7) и утверждения (Ь) теоремы 7.23 имеем g = u, где и — распределение с носителем в шаре г В. Поэтому равенство (2)
превращается в соотношение Pu = V, которое равносильно уравнению (1).
Единственность решения и очевидна, поскольку может сущест-вовать не более одной целой функции и, удовлетворяющей уравнению Pu = v.
Предыдущие рассуждения показывают, что носитель S1x распределения и содержится в каждом замкнутом шаре с центром в начале координат, который содержит носитель Sv распределения v. Поскольку из (1) вытекает, что
(8) P(D)(txu) = txv (х ? R"),
то сказанное остается справедливым по отношению к x-{-Su и x-\-Sv. Следовательно, Sn содержится в пересечении всех замкнутых шаров (с любыми центрами в R'1), содержащих Sv. Но это пересечение совпадает с выпуклой оболочкой множества Sv, и доказательство закончено. Ц
8.5. Теорема. Пусть P—полином в (п в точности степени N. Тогда дифференциальный оператор P (D) обладает фундамен-
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 225-
тальным решением Е, которое удовлетворяет условию
(1) \Е (яр) I < Ar-" \ CiOn(W) I I ф (t + rw) I dm„ (О
ТП RT2
при любых ty?eD(R") и г > 0.
Здесь А — константа, фигурирующая в лемме 8.3. Основной момент в теореме—доказательство существования фундаментального решения, а не оценки (1), которая просто возникает в процессе доказательства.
Доказательство. Фиксируем г > 0 и положим
(2) HII=S don (W) J I яр (t + rw) I dmn (t).
Прежде чем переходить к основной части доказательства, покажем,, что
(3) HmIJiI)7II = O, если fy—*0 в S)(R").
/->со
Заметим, что яр (t -{-w) = (ewty)~ (/), если / (E R" и w?С". Поэтому
(4) IhHH S da„ (w) J K?.^^dm».
Если -фу—»-0 в S)(R"), то носители всех функций яру содержатся в некотором компактном множестве К. Функции erw (w?Tn) равномерно ограничены на К. Из формулы Лейбница следует, что
(5) II D? (e.rw%) IU < С (К, a) max || яру ||в.
h < а
Правая часть в (5) стремится к 0 при каждом а. Поэтому для любого данного є > 0 существует такое /0, что
(6) И (/-А)" (e_rw^j) ||2 < є (/ > /0, w?T"),
где A = D2+-.. —оператор Лапласа. Согласно теореме План-шереля, неравенство (6) равносильно неравенству
(7) Sl(H-U I2)" Ф/ V + ™>) I2 (0 <
а это последнее вместе с неравенством Шварца и неравенством (2) показывает, что ||яру-||<Се для всех / >/0, где
(8) С2 = \ (\+\t\*)-™dmn(t)<oo.
Тем самым (3) доказано. Пусть теперь ф Z S (R") и
(9) ^ яр = PJD) ф.
Тогда яр = Рф, причем функции ф и яр являются целыми, так что функция ф полностью определяется функцией яр. В частности,
8 № 871
226
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
<р(0) есть линейный функционал по яр, определенный на образе оператора P (D). Суть доказательства состоит в установлении непрерывности этого функционала. Точнее, надо установить, что функционал ф = P(D)Cp—»-cp(O) (вначале заданный на образе оператора P (D)) порождается некоторым распределением, т. е. существует такое распределение и ^S)'(R"), что
<Ю) и (P (D) ср) = ср (0) (ср 6 S) (R")),
поскольку тогда распределение E = и удовлетворяет условию
(P (D) E) (ср) = E (P (-D) ц>) = и ((P (-D) ц>У) =
= и(Р (D) ср) = ф (0) = ср (0) = б (ф),
т. е. P (D) E = б, как и утверждалось. Лемма 8.3 в применении к Рф = яр дает
(11) Icj(0|<Лг-* J \ $(t + rw)\doa(w) (t?Rn).
По теореме обращения имеем ф(0)= J (pdmn. Таким образом, из (11), (2) и (9) получаем
