Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
23. Видоизменить доказательство теоремы 7.25, используя вместо преобразований Фурье ряды Фурье, соответствующие замене функции F подходящей периодической функцией.
24. Пусть с—(2/я)1^2. Для /=1, 2, 3, ... определим функции gy на вещественной оси, полагая
с/1, если 1// < 111 < /, О в остальных точках.
Доказать, что последовательность {gy} равномерно ограничена и поточечно сходится при /—> оо. Отсюда следует, что если / ? L2 (R), то последовательность l*gj сходится в ^-метрике к некоторой функции Hf?L2. Эта функция называется преобразованием Гильберта функции /; формально говоря,
«/<<)={'
""»W-IT J Bi«-
[Этот интеграл существует в смысле главного значения для почти всех х, но доказательство не очевидно; если, однако, функция /, например, удовлетворяет условию Липшица порядка 1, то доказательство становится тривиальным.] Доказать, что
iwii2=imii и H(Hf)=-!
для всех /^L2 (R). Таким образом, // есть 12-изометрия периода 4. Верно ли, что Hf G ofn* если f G ofn*
Глава 8
ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Фундаментальные решени>.
8.1. Введение. Мы будем заниматься линейными дифференциальными уравнениями в частных производных с постоянными коэффициентами. Такое уравнение имеет вид
(1) P[D)U = V,
где P—непостоянный полином от п переменных (с комплексными коэффициентами), P (D)—соответствующий дифференциальный оператор (см. п. 7.1), V—заданная функция или распределение, а функция (или распределение) и—решение уравнения (1).
Распределение E G S)' (R") называется фундаментальным решением для оператора P (D)1 если оно удовлетворяет уравнению (1) с правой частью v = o1 где б—мера Дирака, т. е.
(2) P(D)E = o.
Основной из доказанных ниже результатов (теорема 8.5, принадлежащая Мальгранжу и Эренпрайсу) состоит в том, что такое фундаментальное решение всегда существует.
Предположим, что E удовлетворяет уравнению (2), и пусть v имеет компактный носитель. Положим
(3) u = E*v.
Тогда и есть решение уравнения (1), так как <4) P(D)(E*V) = (P (D) E)xv = oxv = v
в силу теорем 6.35 и 6.37.
Таким образом, существование фундаментального решения приводит к некоторой общей теореме существования для уравнения (1). Заметим еще, что общее решение уравнения (1) отличается от Exv решением однородного уравнения P(D) и = 0. Далее, формула (3) позволяет извлечь дополнительную информацию относительно и. Например, если v GS)(R"), то и GC™ (R").
Конечно, может случиться, что свертка Exv существует для некоторых V, носитель которых не компактен. Поэтому возникает
222
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
задача отыскания таких E1 за поведением которых на бесконечности легко проследить. Разумеется, лучше всего было бы найти E с компактным носителем. Но эгого никогда нельзя сделать.
Действительно, в таком случае E является целой функцией и, согласно (2), удовлетворяет уравнению PE=I. Но произведение целой функции и полинома не может равняться 1, за исключением того случая, когда они являются константами.
Однако иногда уравнение PE = 1 можно использовать для нахождения Е, а именно когда 1/Р— медленно растущее распределение. В этом случае преобразование Фурье от 1/Р представляет собой фундаментальное решение, которое является медленна растущим распределением. Примеры такого сорта см. в упр. 5—9.
Другой относящийся сюда вопрос—существование решений уравнения (1) с компактным носителем, когда v обладает компактным носителем. Ответ (даваемый теоремой 8.4) отчетливо показывает, что в задачах такого сорта недостаточно изучать P на R", а весьма существенно поведение P на всем комплексном пространстве С".
8.2. Обозначения. Символом Тп обозначается тор, состоящий из всех точек ш^С* вида
(1) w = (e^, .... е'Ч
где G1, 0И вещественны; On есть мера Хаара на Та, т. е. мера Лебега, деленная на (2л)п.
Полиномом степени N в О называется функция
(2) Р(г)= S c(a)za (z Z С"),
lex] < N
где а пробегает мультииндексы и с (а) Є С. Если имеет место (2) и с(а)Ф0 хотя бы для одного а с \a\ = N, то говорят, что полином P имеет в точности степень N.
8.3. Лемма. Пусть P—полином в С" в точности степени N. Тогда существует такая константа А < сю, зависящая только от Р, что
(1) |/(г)|<Лг-"$ \(fP)(z + rw)\don(w)
для каждой целой функции / в С", каждого z ?Crt и каждого г > 0.
Доказательство. Предположим сначала, что F—целая функция одного комплексного переменного и что
n
(2> Q W=CП(Ч-аі) (*€С).
/=1
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 223
Положим QoW=clI(l+?A)- Тогда Cf(O) = (FQ0)(O). Так как на единичной окружности | Q01 = | Q |, то
л
(3) 1^(0)1^-?- j l(f<2)Wldo.
-л
Заданный полином P может быть записан в виде P = P0 + + P1+ ¦ ¦ • +Pг/* где слагаемое Pj есть однородный полином степени /. Определим А, полагая
¦(4) ±-=l\PN\doa.
Интеграл положителен, поскольку P имеет в точности степень N (см. часть (Ь) в упр. 1). Если г?С" и w?Tn, то положим
-(5) P (X) = / (z + rXw), Q(K) = P(Z-}- rlw) (X ? С).
Старший коэффициент полипома Q равен rNPN(w). Поэтому из неравенства (3) получается неравенство
