Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 82

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 171 >> Следующая

(a) Предполагая, что п=\ или п = 2, доказать, что і]ш = 0 для каждой функции ¦^^C°°(R"), которая обращается в 0 на К.
(b) Предположим, что л = 2 и что существует вещественный полином P от двух переменных, который обращается в 0 на К. Доказать, что Pu = O и что, следовательно, и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных Р{—D) и — 0. Например, если К — единичная окружность, то
и-{-Au = 0,
.где Д = д2/дх2 + д%1дх\ — оператор Лапласа.
(c) Показать, привлекая упр. 16 и полином 1—х2— х|—х\, что утверждение (Ь), а потому и утверждение (а) перестает быть верным, если п = 2 заменить на л = 3.
(d) Пусть n = l, fG'-MR), ї = 0 на К и f удовлетворяет условию Липшица порядка 1/2, т.е. |/(/) — /(s)|<;C|^— s|i/2. Доказать, что тогда
CC
^ f (x)u(x)dx = 0.
— OO
Наводящее соображение. При каждом п обозначим через Hs множество всех точек, лежащих вне К, но на расстоянии, меньшем чем є > 0, от К. Пусть \he\ — аппроксимативная единица типа фигурирующей в доказательстве утверждения (Ь) теоремы 7.23. Используя теорему Планшереля, докажите неравенство
||a*Ae||a<||«|l«»e-^«|l A11|2
и выведите отсюда, что
Il и ((р) Il < И и IU И A1 ||а hm inf f е~» С | <p |2 dmn
\ к
для каждого ф?<2)^"), равного пулю на К.
Это даст (а), а в несколько измененном виде — (d); утверждение (Ь) следует из (а).
18. Обязательно ли было привлекать функцию я]з при доказательстве теоремы 7.25? Нельзя ли было просто положить F(x) — f(x) на К и F (х)=0 вне Ю
19. Доказать, что в предположениях теоремы 7.25 производные Daf локально принадлежат к L2 для каждого мультииндскса а, такого, что|а|*^/-.
20. Пусть f Z L2 (R2)—непрерывная функция с преобразованием Фурье
Г(у) = (1 + |у|)-4{1об(2 + |0|)}-1 (у G R*). Гак как | у \o / (у) принадлежит L2 (R2), то, согласно теореме 7.25,
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
219
f ? (7(1)(R2). Более сильное заключение / ? C(2)(R2) оказывается уже невср-Hi-;м, что устанавливается на основе соотношения
_/(*, 0)+/( „0)-2/(0,0)^ _
Al2
Это означает, что в условии (1) теоремы 7.25 знак > нельзя заменить на
21. Предположим, что первые производные D1«, D„« некоторого распределения и в R" являются L2 (Р")-функциями. Доказать, что тогда и также есть функция и что и локально принадлежит к L2. [Показать, что слово «локально» в заключении, вообще говоря, опустить нельзя.] Указание. На самом деле и есть сумма /.2-функции и некоторой целой функции.
Если л— 1, то и оказывается даже непрерывной функцией. Показать, что это более сильное утверждение неверно при п = 2. Например, рассмотреть функцию
f(r) = \ lpgl*l I 1/4 (*?RZ). 1 + 1*1*
См. упр. 11 гл. 8, где приводится аналогичный результат при более слабых предположениях.
22. Периодические распределения, или распределения на торе Тп, обладают рядами Фурье, теория которых проще, чем теория преобразований Фурье. В значительной степени это объясняется компактностью тора: каждое распределение на Тп обладает компактным носителем. В частности, понятие медленно растущего распределения геряет смысл.
Доказать ряд указанных ниже утверждений. Напомним, что
Тп = {(е1*1, ..., е *"): Xj вещественны}.
Функцию ер на Тп можно отождествить с 2зт-периодической по каждому переменному функцией ср на R", полагая
ф (Xi, ..., Xn) =ср (elXi, ... , е ").
Через Z" обозначается множество (аддитивная группа) «-строк k = (kx, ...,kn) целых чисел kj. Для каждого k ? Z" функция е^ на Тп определяется равенством
ek (eiXx, ... , е*п) = eikx = exp {і (U1X1 + ... + knxn)).
Через on обозначается мера Хаара на Тп. Если ср ? Lx (qn), то коэффициенты Фурье этой функции суть
Ф (*)= J е-MdOn (k € Z»).
Через <2) (7'") обозначается пространство всех тех функций ср на Г", для которых ф ? С00 (R"). Если ср ? «2> (Тп), то
(l + k.kf\q>(k) И1'* < оо
/2(
Uez"
при N = 0, ], 2, ... . Указанные нормы определяют на Q)(T11) топологию пространства Фреше, причем эта топология совпадает с топологией, задаваемой нормами
max sup \фац) (х)\ (Л/ =0, 1, 2, ...).
IaKN X є r"
220
часть 2. распределения и преобразование фурье
Пространство S)' (Тп) состоит из линейных непрерывных функционалов па S)(T"). Элементы этого пространства называются распределениями на Тп. Коэффициенты Фурье распределения и ? S)' (Тп) определяются соотношениями
u(k) = u(e-k) (k ? Z"). Каждому распределению и ? S)' (Тп) соответствуют такие А/ и С, что
\Z(k)\<C(i + \k\)N (k?Z»).
Обратно, если g—такая функция на Z", что I g (&) | =С С (1-f-1 & | )-^ при некоторых С и Л/, то g = и для подходящего и ? <2>' (T").
Таким образом, имеется линейное взаимно однозначное соответствие между распределениями на Тп, с одной стороны, и функциями полиномиального роста на Z'2 — с другой.
Если ZT1CZf2CT-C3CZ...—конечные множества, объединение которых совпадает с Ъп, и если и ? S)' (Тп), то «частичные суммы»
-сходятся к и при /—> оо в смысле слабой* топологии пространства S)' (T").
Свергну и-* V двух элементов и G S)' (Tа) к и G S)'(Tп) проще всего определить, беря элемент с коэффициентами Фурье и (k) v(k). Имеют место аналоги теорем 6.30 и 6.37, причем доказательства сильно упрощаются.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed