Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
(9) I / (г) I < v0 Il ф, \\n.
На носителе функции q>z имеем |?|^r + 2/|z|, так что
(10) \e~iz-1 | = ^-'<е8+Г1Ігпг'.
Если теперь мы применим формулу Лейбница к произведению (7) и используем (10) и (9), то получится неравенство (2). Тем самым утверждение (а) полностью доказано. (Ь) Так как функция / удовлетворяет условию (2), то
(H) l/(*)|<Y(l + N)" <*€R«).
гл. 7. преобразование фурье
213
Поэтому сужение функции / на R" принадлежит к сУ^и является преобразованием Фурье некоторого медленно растущего распределения и.
Фиксируем некоторую функцию h € S) (R") с носителем в B1 для которой ^h=I, положим МО =e~nh (//е) при є > 0, и пусть
(12) U = ! (z)Mz) (z € С»),
где fie—целая функция, сужение которой на R" есть преобразование Фурье функции Ае. Утверждение (а) теоремы 7.22 в применении к Нъ позволяет сделать заключение, что функция /е удовлетворяет условию (2) теоремы 7.22 с заменой г на г+ г. Следовательно, согласно утверждению (Ь) теоремы 7.22, имеем
/е = сре, где tpe€^(R")» причем носитель функции фе содержится
b (Г+e) В.
Рассмотрим такую функцию \р?<Уп, что носитель функции я}>
не пересекается с гВ. Тогда фф8 = 0 для всех достаточно малых
е > 0. Так как 6(R") и he(x) = h(zx)—>I, оставаясь ограниченной на R", то
и (-ф) = и (ty) = \ /ф dm„ = Hm J dm„ =
є -+- 0
= lim \ q>etydma = lim \ -ффейт =0.
є -> 0 J є -> 0 J
Поэтому носитель распределения и содержится в гВ.
Теперь мы видим, что z—>u(e_z) является целой функцией, и так как соотношение (1) выполняется при всех z ? R" (согласно выбору и), то лемма 7.21 позволяет закончить доказательство утверждения (Ь). Ц
Лемма Соболева
Если Q—открытое собственное подмножество в R", то преобразование Фурье не удается определить ни для функций с областью задания Q, ни для распределений в Q. Вместе с тем техника преобразования Фурье порой может применяться для решения локальных задач. Теорема 7.25, известная под названием леммы Соболева, представляет собой пример такого сорта.
7.24. Определения. Говорят, что комплексная измеримая функция /, заданная на некотором открытом множестве QcR",
локально принадлежит к L2 в Q, если J |/|2dm„< оо для каж-
к
дого компакта /CcQ.
Аналогично распределение и ? S)' (Q) локально принадлежит к L2, если существует такая функция g, локально принадлежащая
214 часть 2. распределения и преобразование фурье
к L2 на Q, что и (<p) = J gq> dmn для всех у ? S) (Q). Если гово-
рится, что функция f обладает производной в смысле распределений Daf, локально принадлежащей к L2, то подразумевается распределение Daf и имеется в виду существование такой функции g, локально принадлежащей к L2, что
S ?Ф dmn = (— 1 )la I J /Da ср dm„
для всех ф ?^2 (Q). При этом заранее ничего нельзя сказать относительно существования Da[ в классическом смысле, т. е. в смысле предела отношений.
С другой стороны, для каждого неотрицательного целого р класс Op)(Q) состоит из тех комплексных функций / в Q, для которых производные Daf существуют в классическом смысле при каждом мультииндексс а, |а|^р, и являются непрерывными функциями.
Символ Df используется для обозначения дифференциального оператора (д/дх{)к.
7.25. Теорема. Пусть п, р, г—целые числа, причем п > О, р^О и
(1) г>р+^.
Предположим, что функция f, заданная на некотором открытом множестве QcR", такова, что ее производные в смысле распределений D1If локально принадлежат к L2 в Q при 1 <І і ^ /г,
Тогда существует такая функция /0 ? (Q), что f0 (x)=f (х) для почти всех x?Q.
Заметим, что в условии теоремы не фигурируют смешанные производные, т. е. члены вида D1DJ. Заключение состоит в том, что функцию f можно «исправить» на множестве меры 0 с таким расчетом, чтобы она попала в 0?} (Q).
В качестве следствия отметим еще, что Z0^C* (Q), если все производные в смысле распределений от f локально принадлежат к L2.
Доказательство. По предположению существуют такие функции gik, локально принадлежащие к L2 на Q1 что
(2) J giMdmn = (-1 )* \ fD?<pdmn (ф€ S) (Q))
Ll Q
при I ^n, 0<Zr.
Пусть о)—открытое множество, замыкание которого К есть компактное подмножество в Q. Выберем такую функцию ty?S)(Q),
гл. 7. преобразование фурье
215
что яр=1 па Ky и определим функцию F на R", полагая
Р(х)—1 ^MfM' если X^Q>
W —^ если x^Qt
Тогда F ? (R") Л L1 (R").
По формуле Лейбница на множестве Q имеем
(3) U1F = 2 (') (Di-1SP) (D5J) =2(0 Ws *)
s = 0 4 7 s = 0 4 7
На дополнении Q0 к носителю функции яр имеем D^F = 0. На множестве Q П эти дца распределения совпадают. Поэтому DjF, заданное вначале как распределение в R", на самом деле оказывается L2 ^")-функцией при 1 ^n, поскольку функции (Drrs^)gis принадлежат L2 (H). [Так как U1F обладают компактным носителем, то они принадлежат также и к Z^(R").]
Теорема Планшереля в применении к функциям F и D[F, ... ..., DnF теперь показывает, что
(4) \\Р\*йтп<оо
R"
Tl
(5) ^ УГ\ F (y)\2dmn(y)< оо (1<і<л). Так как
(6) (1 +1У |)2Г < (2я + 2)" (1 + у? + ... + iff).
где I г/1 = (г/2+ ... -\-уїі)1/2, то из неравенств (4) и (5) вытекает неравенство
