Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 79

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 171 >> Следующая

— 3D
не зависит от г) при любых вещественных I1, ...ttn и комплексных Z2, Zn. Чтобы обнаружить это, обозначим через Г пря-
210
часть 2. распределения и преобразование фурье *
моугольный контур в (?-}- іrj)-плоскости, одна сторона которого расположена на вещественной оси, другая — на прямой T]-1Ii» а вертикальные стороны раздвигаются в бесконечность. По теореме Коши интеграл от подынтегрального выражения в (5), взятый но Г, равен 0. Вместе с тем, согласно условиям (2), вклад в этот интеграл, возникающий при интегрировании по вертикальным отрезкам, стремится к 0. Отсюда следует, что (5) принимает одинаковые значения при т| = 0 и при Tj = T)1. Тем самым наше утверждение доказано.
Такую же процедуру можно выполнить и с остальными координатами. Поэтому наряду с (4) имеет место представление
(6) ф (0 = J / (X + іу) є" ¦(*+*> dmn (х)
при каждом у GR".
Для данного tGR", іфО, положим y — Xtj\t\, где А, > 0. Тогда t-y = k\t\, \y\=k и
I / (X + іу) е"+ К yN (1 +1X I)~N e<'-i' •> \
так что
(7) МОКтл^-1"^ S (1 + |х|)-^mrt(*),
R"
где N выбрано настолько большим, чтобы последний интеграл был конечным. Пусть теперь л—> оо. Если 111 > /-, то, согласно (7), ф (/) = 0. Таким образом, носитель функции ф содержится в гВ.
Для вещественных z формула (1) вытекает из (4) и теоремы обращения. Но, поскольку обе части равенства (1) представляют собой целые функции, они совпадают всюду на С", согласно лемме 7.21. ||
Сделаем несколько замечаний в связи со следующей затем теоремой.
Пусть и — распределение в R" с компактным носителем. Его преобразование Фурье определяется соотношением и (ф) = и (<р) и является медленно растущим распределением. Вместе с тем определение f(x) = ^fe_xdmn, принятое для функций fG^(Rn), наводит на мысль, что и может оказаться функцией, а именно
и(х) = и(е.х) (xGRn),
поскольку е_х G С00 (R") и, как показано в пункте (d) теоремы 6.24, значение и(ф) имеет смысл для каждой функции у GC°° (R"). Более того, e_zGC°° (R") для каждого г?С'г, и поэтому u(e_z) похоже на целую функцию, сужение которой на R" дает и. Эти
гл. 7. преобразование фурье 211
рассуждения уточняются в следующей ниже теореме. Кроме того, возникающие здесь целые функции характеризуются в ней некоторыми условиями роста.
7.23. Теорема, (а) Если носитель распределения u??D' (R") ¦содержится в гВ, порядок распределения равен N и если
(1) f(z) = u(e.g) (г G С"),
то функция / является целой, ее сужение на R" совпадает с преобразованием Фурье от и и, кроме того, существует такая константа у < оо, что
<2) \f(z)\<y{l+\z\)Nerilm*1 (2€C»).
(b) Обратно, если f—целая функция в С", удовлетворяющая условиям (2) при некоторых N и у, то существует такое распределение и (EiZ)' (R") с носителем в гВ, что выполняется соотношение (I).
Примечание. Обозначение и иногда используется для указания расширения на С", задаваемого формулой (1). Таким образом, для всех z G С" полагают
u(z) = u(e_z).
Это расширение иногда называют преобразованием Фурье—Лапласа распределения и.
Доказательство, (а) Предположим, что носитель распределения (R") содержится в гВ. Зафиксируем такую функцию IpG^)(R"), что гр—1 на (г-\-\)В. Тогда и = три, и, согласно утверждению (е) теоремы 7.19, имеем
(3) и = (гри)" — и#ір.
Таким образом, и ^C00 (R"). Пусть <р€<?гв таково, что ер = лр. Тогда
(u*ij)) {X) = (и*ср) (х) = и (тхф) = и ((тл.ф)") =
откуда в силу (3) получаем
(4) и {х) = и{е_х) (XgR»).
Теперь мы хотим показать, что функция f, определенная формулой (1), является целой. Выберем a g С", b G С" и положим
(5) gtfW (а + Щ=и(е_а-Кь) (XgC).
Непрерывность функции / ясна: если ы>—>г в С"» то —>е-г в C°°(R"), а w является непрерывным функционалом на CTO(R"). Теперь достаточно показать, что каждая из функций g, опреде-
212 часть 2. распределения и преобразование фурье
лясмых соотношением (5), является целой, и тем самым будет установлено, что функция / целая.
Пусть Г—некоторый прямоугольник в С. Так как %—*е-а-гь-есть непрерывное отображение из С в С°° (R"), то С00 (R")-3Ha4-ный интеграл
(6) F=\e-a_udk
г
определен корректно. Кроме того, «значение в точке /?R"» есть непрерывный линейный функционал на C0 (R"). Поэтому можно переставить знак этого функционала со знаком гнтеграла. Следовательно,
F (/) = [e-a-u,(t) d%= \ е-іа-*е-1 Ф-ъьф, = 0. г г
Таким образом, .F = O и из (6) вытекает, что
0 = и (F) = J и (е _а-Ы dk = lg ft) dh. г г
Следовательно, по теореме Морера функция g является целой.
Чтобы закончить доказательство утверждения (Ь), теперь достаточно установить формулу (2). Выберем вспомогательную бесконечно дифференцируемую функцию h на вещественной оси, для которой A-(S)=I1 если s< 1, и /i(s) = 0, если s > 2, и сопоставим каждой точке г € С" (г Ф 0) функцию
(7) ф, (/) = е-ь-'h (I /11 г I - г I г |) (/GR").
Тогда <pz?<2) (R"). Так как носитель распределения и содержится в г В и так как h (| і 11 г |— г \ z |) = 1, если | ? | <: | z |_1 + г, то, сравнивая формулы (1) и (7), мы видим, что
(8) /(г) = и(ф,).
Поскольку порядок распределения и равен N, найдется такая константа у0<оо, что | и (ф) | ^ у01| ф \\N для всех ф G (R"), где Il Ф 1|лг определено формулой (1) в п. 6.2; см. утверждение (d) теоремы 6.24. Поэтому формула (8) дает
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed