Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 104

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 171 >> Следующая

Наконец, утверждение (с!) непосредственно вытекает из утверждений (Ь) и (с) *). Щ
Дифференцирования
Теперь мы рассмотрим вопрос о том, в какой степени поведение тех или иных элементов алгебры H (Aq) (см. определение 10.26) похоже на поведение голоморфных функций. Нас будут интересовать такие свойства, как дифференцируемость, представимость степенными рядами и открытость («сохранение области»). Заранее можно сказать, что результаты гораздо ближе к классическим тогда, когда алгебра А коммутативна, чем без этого предположения.
10.34. Определение. Пусть X и Y—банаховы пространства, Q — открытое множество в X, F—отображение множества Q в Y и а — некоторая точка из Q. Если существует такое А?33(Х, Y) (где W(X, Y)—банахово пространство всех ограниченных линейных операторов из X в Y), что
||і>+*)-^(«)-Ла-||
"Го 11*11 '
*) Заметим, что дополнительное условие на фигурирующее в (с) и (d), ¦существенно. Действительно, пусть, например, X = C(IO, 1]), /(X) = O и
ІТх) (0= ^ X (s) ds. Тогда, как легко видеть, ор(Т) = 0, но 0^(/(71))— {0} Ф И. — о
JJрим. ред.
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
27»
то оператор Л называется производной Фреше от F в точке а.
[Единственность Л тривиальна.]
Производная Фреше от F в точке а будет обозначаться через (DF)a* Если производная (DF)11 существует для каждой точки а ?1,2.
и если у
a (DF)a
есть непрерывное отображение из Q в $?(Х, Y), то отображение F называется непрерывно дифференцируемым в ІІ.
10.35. Разделенные разности. Пусть А— банахова алгебра* х?А и x-\-h(zA. Если обе части тождества
(Xe—х)—(ке—X—h) = h
умножить слева на (ке—х—К)'1 и справа на (ке—х)~х, то получится
(1) (ке—х—К)-1—(ке—х)-1 = (U—x—h)-1 h (ке—х)-1
при условии, конечно, что обратные существуют.
Пусть теперь Q—открытое множество В С, X^Aq, x-{-h?Asz и / € Я (Q). Выберем контур Г, охватывающий компакт о(х) U o(x-\-hj в Q. Тогда из соотношения (1) вытекает, что
(2) f(x + h)-f (*) J f W (ke-x-h)-* h (ke-x)-i dk.
г
Если элементы h и х коммутируют, т. е. если xh = hx, то, как показано в п. 10.22, множитель h можно вынести за знак интеграла. Этим оправдано следующее определение. Величина
(3) (Qj) (х; h)=± j / (к) (ke-x-h)-- (ке-х)-1 dX
г
называется разделенной разностью. В предположении, что xh = hxT эта величина удовлетворяет равенству
(4) J (X-\-h)-J (x) = h (Q])(x;h).
Всюду в оставшейся части данного пункта указанное предположение считается выполненным.
Если Л h у < 1/М, где M > Il (ке—л:)-11| при всех к из Г, то ряд
CC
(5) (ке—х—К)-1= ^(ке—X)-Vh"-1
/2=1
сходится по норме А, причем сходимость равномерна по л.?Г.> Поэтому представление (3) разделенной разности допускает еле-
280
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
дующее преобразование:
со
.(6) (Qfi(*;ft)=? 2SJfM(A*-*)-"-1^ А""1 =
л=1 J Г
СО СО
я=1 Г л=1
где — производная порядка п от /, а через /(и> для краткости обозначено [fUi)] ~. Норма коэффициента при hn~l в последнем степенном ряде оценивается произведением константы (зависящей от / и Г) на Мп. Следовательно, этот степенной ряд сходится по норме. Таким образом, из (4) и (6) получается представление в виде степенного ряда
со
u) f(x + h) = ?^7«"'
которое имеет место, если xh = h и если норма \\h\\ достаточно мала. (См. упр. 9.)
Мы установили, в частности, следующую теорему.
10.36. Теорема. Пусть А—коммутативная банахова алгебра, Q—открытое множество в С, х?А& и f ?Н (Q). Тогда существует такое 6 > 0, что
со
<1) J(X+h)=^J^(x)h»
/7 = 0
для всех h(zA, таких, что ||А||<6. Следовательно, (2) (Df)x(Ii) = ]'(x)h (he А).
Другими словами, оператор (Df)x ? 33 (А) имеет смысл и совпадает с оператором умножения на элемент /' (х) ? А.
Итак, положение здесь такое же, как и в классическом случае A = C Теперь мы рассмотрим некоммутативную ситуацию.
10.37. Коммутаторы. Операторы умножения слева и справа на элемент X (некоммутативной) банаховой алгебры А будут обозначаться соответственно через Lx и Rx. Так как алгебра А ассоциативна, т. е. у (xz) = (ух) z, то каждый оператор Ly умножения слева коммутирует с каждым оператором Rz умножения справа. В частности, операторы Lx и Rx коммутируют друг с другом й с оператором
О) Cx = Rx—Lx.
Заметим, что Cx (у) = ух—ху есть гак называемый коммутатор элементов хну.
гл. 10. банаховы алгебры 28Ї
Конечно, операторы Lx, Rx и Cx принадлежат B(A). Легка видеть, что
(2) а (Lx) = а (*) = а (Rx)
и что И Cx |К 2 И я ||. Некоторая дальнейшая информация относительно g(Cx) будет указана в следствии к теореме 11.23.
10.38. Теорема. Пусть А—банахова алгебра, Q—открытое множество в С, х?Ац и H (q). Тогда J есть непрерывно дифференцируемое отображение из Aq в А и
(1) (Df)x (у) = ^г^(Ц(^-х)^у(Хе-х)-ЫХ (у ? А),
г
где Г — произвольный контур, охватывающий g(x) в q.
Оператор (Df)x может быть также представлен в виде-33 (А)-значного интеграла
(2) (Df)x = 2ЇЇ7 J/W (M - Rx)'1 (M - Lx)-' dl
г
и в виде разделенной разности
(3) (Df)x=(Qj)(Lx, Cx).
Если область q содержит все такие I, что |ХКЗ||л'||, то
со
(4) (Dj)x =^-^гЬт) (X)Cr^
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed