Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Рудин У. -> "Функциональный анализ" -> 103

Функциональный анализ - Рудин У.

Рудин У. Функциональный анализ — М.: Мир, 1975. — 449 c.
Скачать (прямая ссылка): funkcanaliz1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 171 >> Следующая

10.30. Теорема. Пусть А—банахова алгебра, х?А и спектр о(х) элемента х не разделяет 0 и оо (т. е. точка 0 принадлежит неограниченной компоненте дополнения к спектру). Тогда
(a) элемент х обладает корнями всех степеней в А;
(b) элемент X обладает логариермом в А;
(c) если є > 0, то найдется такой полином Р, что Цх-1—Р(х)||<є. Кроме того, если о (х) лежит на положительной вещественной
полуоси, то корни в (а) можно выбрать обладающими тем же свойством.
Доказательство. По предположению точка 0 принадлежит неограниченной компоненте дополнения к о(х). Поэтому сущест-
276
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
вует функция f, голоморфная в некотором односвязном открытом множестве Q ZD G (х), для которой
ехр (/(*))_*. Из теоремы 10.29 вытекает, что
ехр(/ (*))-*,
и поэтому y = f(x) служит логарифмом для х. Если 0 < К < оо для каждого Х?о* (х), то функция f может быть выбрана вещественной на G (х). По теореме об отображении спектров в этом случае G (у) будет лежать на вещественной оси. Пусть z = exp (у/т). Тогда zm — х. Кроме того, еще раз применяя теорему об отображении спектров, получаем: а(г)с:(0, оо), если а (у) cz (— оо, оо). Тем самым доказаны утверждения (а) и (Ь), а также заключительное утверждение. Конечно, утверждение (а) можно доказать и непосредственно, не обращаясь к утверждению (Ь).
Для доказательства утверждения (с) заметим, что функция 1Д допускает равномерную аппроксимацию полиномами па некотором открытом множестве, содержащем о(х) (теорема Руиге). После этого остается только воспользоваться утверждением о непрерывности из теоремы 10.27. Щ
Перечисленные результаты не совсем тривиальны даже в случае конечномерной алгебры А. Например, из утверждения (Ь) в этом частном случае извлекается тот факт, что квадратная матрица M порядка п в том и только в том случае служит экспонентой некоторой матрицы, если 0 не является собственным значением матрицы A4, т. е. если матрица M обратима. Чтобы вывести этот факт из-утверждения (Ь), достаточно в качестве А рассмотреть алгебру всех комплексных квадратных матриц порядка п (или алгебру всех ограниченных линейных операторов на Сп).
10.31. Теорема, (а) Пусть А—банахова алгебра, х?А, P — полином от одного переменного и P (х) = 0. Тогда G (х) содержится в множестве нулей полинома Р.
(b) В частности, если х—идемпотент, т. е. х2 = х, то c(x)cz\0, 1}.
(c) Если в алгебре А имеется элемент, спектр которого несвязен, то А содержит нетривиальный идемпотент.
Тривиальными идемпотентами являются, конечно, 0 и е.
Доказательство. По теореме об отображении спектров
P(G(x)) = G(P(x)) = G(0)-{0\,
откуда сразу получаются (а) и (Ь). Если G (х) несвязно, то найдется пара открытых множеств Q0, Q1 с пустым пересечением,
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
277
каждое из которых пересекается с сг (х) и объединение которых Q содержит о(х). Положим /(X) = O на Q0 и f (X) = I на Q1. Тогда
/?#(Q). Пусть y = f(x). Так как /2=/, то из теоремы 10.27 вытекает, что у2 = у и, следовательно, у—идемпотент. По теореме об отображении спектров
Поэтому идемпотент у нетривиален, так как тривиальные идемпо-тенты 0 и t? обладают одноточечным спектром. Щ
10.32. Определение. Пусть S(X)—банахова алгебра всех ограниченных линейных операторов на банаховом пространстве X» Точечным спектром ор (T) оператора T G 33 (X) называется множество всех собственных значений этого оператора. Таким образом, Х?ор(Т) в том и только в том случае, если ядро <Ж (T—XI) оператора T—XI имеет положительную размерность.
В случае A = 33 (X) теорема об отображении спектров допускает следующее уточнение.
10.33. Теорема. Пусть T G 33 (X), Q.—-открытое множество в С, о(T) ail и f ?H(Q).
(а) Если X GXt a GQ и Тх = ах, mo f (T) x = f (а) х.
(d) Если f непостоянна ни в одной из компонент множества Q^
Утверждение (а) устанавливает, что каждый собственный вектор-оператора T с собственным значением а является также собственным вектором и для оператора /(7) с собственным значением / (а).
Доказательство, (а) Если х = 0, то доказывать нечего-Предположим, что XФ0 и чго Tx = ах. Тогда aGo(T). Существует такая функция gGH(Q), что
Так как (T—аІ)х = 0, то из формулы (2) вытекает утверждение (а)^ Таким образом, если а—собственное значение оператора Ту
то / (а)—собственное значение оператора J (T). Поэтому утверждение (Ь) вытекает из (а).
Если выполняются условия (с), то
<у (У) = [(о (x)) = {0, 1}.
mof (op(T)) = ap(f (T)).
(3)
a Gop(f (T)) с G(f(T)) = [(о (T)),
278
часть 3. банаховы алгебры и спектральная теория
так что
<4) Г1 (°0 Па(7)=^=0.
Кроме того, множество, фигурирующее в (4), конечно, так как а (7)— компактное подмножество в Q, а /—а не обращается тождественно в нуль ни в одной компоненте множества Q. Пусть C1, ...,и„— набор нулей функции f—а в о (T), записанных с учетом кратности. Тогда можно считать, что
(5) f (X)-« = g(X) (X-^1)... (X-U,
где g?H(Q), причем g не имеет нулей на о(T). Имеем
(6) f(T)-af = g(T) (T-U)-¦ •(T-U)-
Согласно утверждению (а) теоремы 10.28, элемент g(T) обратим в алгебре 33 (X)- С другой стороны, / (а) — собственное значение оператора J(T), и поэтому оператор f (T)—al имеет нетривиальное ядро в X. Из формулы (6) теперь вытекает, что хотя бы один из операторов T—?,•/ также имеет нетривиальное ядро. Соответствующая ему точка содержится в ор(Т). Так как /(?,-) = а, го мы получаем (с).
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed