Функциональный анализ - Рудин У.
Скачать (прямая ссылка):
алгебру H(Aq), причем это отображение непрерывно в следующем смысле:
если fn?H(Q) (п— 1, 2, 3, ...) и fn—уf разномерно на компактных подмножествах множества Q, то
<1) J(X)=UmJn(X) (X €Аа).
га-»-со
Если и(Х) = А и Z)(X)= I в Q, то и(х) = х и v(x) = e для каждого X ? Ац.
Доказательство. Последнее утверждение вытекает из теоремы 10.25. Интегральное представление (2) п. 10.26 со всей очевидностью показывает, что отображение /—>J линейно. Если J=O, то
<2) i(a)e = J(ae) = Q (a ?Q),
так что / = 0. Следовательно, отображение / —> J взаимно однозначно.
Утверждение относительно непрерывности прямо вытекает из представления (2) п. 10.26, ибо величина \\(Хе—х)~г\\ ограничена на Г. [Для всех /„ надо использовать один и тот же контур Г и применить теорему 3.29.]
Остается доказать, что отображение / —> J мультипликативно. Точнее, надо показать, что если / ? H (Q), g(zH (Q) и h (X) =f (X) g (X) для всех X ? Q, то
<3) h (X) = J (X) g (X) (x?AQ).
Если f и g—рациональные функции с полюсами вне Q и если h = fg, то h (х) = f (х) g (х) (здесь f(x) и g(x) определяются, как в теореме 10.25, и равенство проверяется непосредственно). По теореме 10.25 имеем R(x) = R(x) для каждой рациональной функции R с полюсами вне Q, и соотношение (3) в данном случае доказано. Общий случай сводится к данному при помощи теоремы Рунге (см., например, [27, теорема 13.9]). Согласно теореме Рунге, мы можем аппроксимировать / и g равномерно на компактных подмножествах в Q последовательностями рациональных функций fn и §п- Тогда последовательность fngn будет в том же смысле сходиться к h, и соотношение (3) в общем случае получается
предельным переходом, поскольку отображение /—у J непрерывно в указанном выше смысле.
274 ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Заметим, что алгебра H(Aq) коммутативна1), поскольку, очевидно, коммутативна изоморфная ей алгебра H(Q). Щ
10.28. Теорема. Пусть x?AQ и f G H (Q).
(a) Элемент J(x) тогда и только тогда обратим в А, когда f (X) Ф0 при каждом А G о (х).
(D) О (f (X)) = f (g(X)).
Утверждение (Ь) называется теоремой об отображении спектров.
Доказательство, (а) Если функция / не имеет нулей на о(х), то функция g=l/f голоморфна на некотором таком открытом множестве Q1, что о (Jc)CzQj czQ. Так как /g = 1 в Q1, то теорема 10.27 (с заменой Q на Q1) показывает, что J (х) g (х) = е. Поэтому элемент ] (х) обратим. Обратно, если f(a) — 0 для некоторого a G о (х), то найдется такая функция h G H (Q)1 что
(1) (X-a)h(X) = f(X) (X GQ), откуда по теореме 10.27 получаем
(2) (*—ae)h(x) = J (х) — h(x) (х—ае).
Так как элемент х—ае необратим в А, то, согласно (2), элемент f (х) также не может быть обратимым.
(b) Фиксируем некоторое ??C. По определению, $?o(j(x))
тогда и только тогда, когда элемент f(x) — ?e необратим в А. Применяя утверждение (а) к функции f—?, мы видим, что это происходит в том и только в том случае, если функция f—? имеет нуль на g(x), т.е. если ? ?/(а (#)). Щ
Теорема об отображении спектров позволяет включить суперпозицию функций в число операций функционального исчисления.
10.29. Теорема. Предположим, что xGAq, f Є H (Q), Q1—открытое множество, содержащее f(o(x)), g G H (Q1) и h (X) = g (f (X)) в Q0, где Q0—множество всех XGQ, для которых f(X)GQv
Тогда J(X)GAq1 и h (х) -g(/»).
Короче говоря, h = goJ, если h — gof.
Доказательство. Согласно утверждению (Ь) георемы 10.28, имеем g (f (х)) cz Q1, так что g(f(x)) определено корректно.
1J Па первый взгляд, этому можно удивиться, поскольку J (х) и / (у), вообще говоря, не коммутируют. Однако J(х) и g (х) при каждом xGAq перестановочны, ибо оба эти элемента суть «функции от одною и того же элемента х». По определению операций в H (AQ) (см. 10.26 (d)) это как раз и означает, что 7 и g коммутируют.—Прим. ред.
ГЛ. 10. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ
275
Фиксируем некоторый контур T1, охватывающий f(o(x)) в Q1. Существует столь малое открытое множество W, удовлетворяющее условию о (х) CZ W CZ Q0, что
(1) Indri(/(X))-1 (I ?W).
Фиксируем некоторый контур Г0, охватывающий о(х) в W. Если S € Га, то 1/(?—/) Є H (W). Поэтому теорема 10.27 (где надо взять W в качестве Q) показывает, что
(2) Це-} (X)]-1 - §[t-f_(K)]-1 №-х)-Ык (ItT1).
Го
Так как контур T1 охватывает а (/(х)) в Q1, то, используя (1) и (2), получаем окончательно
S(I(X))= %z\g(t) {Ie-J(X)]-1^= г,
= 2я7 і" Ш \ S(Z) K-/W]-1^S (Xe-X)-IdK =
Го Pi
= Ш ^ (W)) (te-*)-1^ = ^ J А(>-) (Xe—х)-1 dK-li(x). ¦ К г0
Теперь мы дадим некоторые применения построенного функционального исчисления. Сначала речь будет идти о существовании корней и логарифмов. Говорят, что элемент х ? Л обладает корнем m-й степени в А, если х = ут для некоторого у ? А. Если х = ехр (у) для некоторого у Є А, то у есть логарифм от х.
СО
Заметим, что схр (у) = 2 */"//г- Кроме того, экспоненциальная
о
функция может быть также определена при помощи контурного интегрирования в соответствии с п. 10.26. Утверждение теоремы 10.27 о непрерывности показывает, что эти два определения экспоненты совпадают (как и для всех целых функций).
