Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Величину R(х) можно назвать нормированным разрывом. Он равен скачку функции, отнесенному к характерному расстоянию l. Пусть вклад разрыва R в функционал определяется величиной l • W(R), где W — заданная гладкая функция аргумента R. Предположим, что вклад в функционал от всех разрывов в точках (1) равен сумме вкладов от каждого из разрывов. В соответствии с обозначением (3) данную сумму можно записать следующим образом:
W(R^ 0 + p)) l + W(R^ 0 + p + l)) l+...
+... W(R^ - q))l = (p, q) j6 W(R^))Ах
х0
(здесь и выше в пределе Lim Ах = l). Таким образом, мы приходим к следующей конструкции функционала:
Р Г1 q
l jY(u^, X), Ux(х, X))dX
- p
Ах +
П = j
a
хе
+ j [W(R(x))] Ах + Kau(х0, -p) - Kрu(хе, q),
х0
где Ka, Kр — заданные постоянные. Обозначим, как обычно, через 5u (х, X) малую вариацию функции и (х, X), а индексами — производные функций Y и W по соответствующим аргументам. Вычислим вариацию функционала. Будем использовать упрощенные обозначения типа (см. рис. 8.4)
Y(u(х, X), их(х, X)) = ?(х, X),
и(х0 + l, -p) - и(х0, q) = и(A1) - и(B0),
Y(u (A 0), их (A 0)) = Y(A 0).
Легко видеть, что
5Y(u (х, X), uX (х, X)) =
Yu(х, X) -dL Yu
dX
Вариация 5и(х, X) внутри промежутка (a, Р) произвольна. Поэтому из условия 5П = 0 следует, что выражение в квадратных скобках должно равняться нулю. Это дает первое уравнение относительно неизвестной функции и(х, X), которое выполняется при фиксированных значениях х и - p < X < q.
Далее, интегрирование по X последнего слагаемого в (4) даст два внеинтегральных слагаемый, относящихся к точкам х - p и х + q.
Данный интервал лежит на микроуровне прямой. Значение x относится к вещественному уровню. Поэтому слагаемые дадут свой вклад в уравнения по x и краевые условия. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Считая, что первое слагаемое в (4) уже равно нулю, можно записать
b
5П = -
j1 [Yux (x, q)5u(x, q) - Yux (x, -p) 5u(x, -p)] Dx
a
+ lwR (R(x)) 5u(x + q -p) - du(x - pq) Dx =
l
x о
= Yux (Bo)5u(Bo) - Yux (Aо)5u(Aо) +
+ Yux (B1)5u(B1) - Yux (A 1)5u(A 1) +... +
+Yux (Bk-1)du (Bk-1) - Yux (Ak-1)du (Ak-1) +
+ Yux (Bk )du(Bk ) - Yux (Ak )du(Ak ) +
u (A 1) - u (B0)'
+ Wr + Wr + Wr
l
u (A 2) - u (B1)
l
u (Ak) - u (Bk-1)
l
[5u(A 1) - 5u(B0)] + [5u(A2) - 5u(B1)] +... [5u(Ak) - du(Bk-1)] +
+ Ka5u(a) - Kp5u(p).
Точки A0, Bk — это граничные точки X = a, p. (На рис. 8.4 индекс k заменен на индекс п.) Для них имеем
(Yux (a) - Ka)8u(a) = 0, (Yux (b) - Kp)5u(b) = 0.
(5)
Здесь имеется четыре возможности. Первая — функция u (x, X) задана на обоих концах интервала:
u(a) = u (x 0, -p) = ua, u(b) = u(xe, q) = up.
Тогда условия (5) обеспечиваются за счет отсутствия вариаций и: 5u (a) = 0, 5u (p) = 0. Если же граничные значения функции и неизвестны и, значит, допускаются их вариации на границе, то
YuX (a) = YuX (u(x0, -p), Ux(x0, -p)) = Ka,
YuX (p) = YuX (u(xe, q), Ux(xe, q)) = Kp.
Возможны также смешанные варианты.
Для внутренних точек после приведения подобных членов имеем
5П =
и(A1) - и(B0)
Yu x (B1) - Wr
Yu x (Bk -1) - Wr
и (A 2) - и (B1)
l
u(Ak) - u(Bk-1)
+
WR
WR
и (A 1) - и (B0)
l
и (A2) - и (B1)
l
- Yu x (A 1)
W
l
и (Ak) - и (Bk-1)
- Yux (A2)
l
- Yux (Ak)
5u (B0) + 5u (B1) +...
du(Bk -1) + 5u (A 1) +
du (A 2) +... 5u (Ak) = 0.
Внутри интервала вариации функции и отличны от нуля и независимы. Следовательно,
Yu x (B0) = Yu x (A 1) = Wr
Yux (B1) = Yux (A2) = Wr
и (A 1) - и (B0)
и (A2) - и (B1)
Yux (Bk-1) = Yux (Ak) = Wr
l
u (Ak) - u (Bk-1)
l
Таким образом, условия стационарности требуют, чтобы функция YUx (x, X) во внутренних точках горизонта сохраняла свою непрерывность (см. рис. 8.4). Причем ее значение должно определяться величиной скачка u(x, X) в этих же точках.
