Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Определение 1.1. Изначально заданные натуральные, целые и рациональные числа будем называть абсолютными числами.
В случае необходимости данный факт (факт изначальной задан-ности) будем подчеркивать индексом «абс». Например, 0абс (абсолютный нуль) означает разность одинаковых натуральных чисел,
1
(3)абс означает изначально заданное натуральное число три,
абс
отношение изначально заданных натуральных чисел 1абс и 2абс и т.д. Если по смыслу будет ясно, что речь идет об абсолютных числах, то индекс будем опускать.
§ 2. Вещественные числа
1. Конечные вещественные числа.
Понятие бесконечности на вещественной прямой
В руководствах по анализу приводятся различные определения вещественных чисел: по Кантору, Дедекинду, аксиоматическое определение и др. Для наших целей удобнее начать с концепции Кантора [98-101]. Изложим данную концепцию так, чтобы был виден путь дальнейших построений.
Натуральный ряд и рациональные числа r заданы изначально. Это позволяет строить последовательности рациональных чисел
гъ гъ... rn,... .
О таких последовательностях будем говорить как о счетных последовательностях или как о последовательностях (порядкового) типа 1. Обозначать их будем {rn}, rn или r(n). Определенные совокупности последовательностей абсолютных рациональных чисел называются вещественными числами. Опишем эти совокупности.
Вещественное число 0вещ. Пусть последовательность rn такова,
что для любого рационального е > 0 найдется натуральное N такое, что при n > N будут иметь место условия | rn | < е. Объединим подобные последовательности в один класс, который назовем вещественным числом нуль и обозначим
0вещ _ lim rn. (1)
n ^ от
О последовательностях rn будем говорить, что они входят в состав числа 0вещ.
Бесконечность в области вещественных чисел. Из класса (1) выберем последовательности, в которых rn ф 0. Образуем последовательности из чисел, обратных к rn, и объединим их в один класс. Данный класс будем называть бесконечностью в области вещественных чисел и обозначать
отвещ = lim1/ rn.
Из этого класса выделим подкласс rn > 0, для которого используем обозначение
+отвещ = lim1/ rn.
Аналогично определим -отвещ.
Конечные вещественные числа. Последовательность рациональных чисел называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если для любого рационального числа е > 0 найдется натуральное число N такое, что для любых n, m > N будет иметь место неравенство
I an - am I < е.
Пусть последовательность rn является фундаментальной. Образуем класс последовательностей, в который включим последовательность rn и любую другую последовательность r’n при условии, что (rn - гП) входит в состав числа 0вещ. Данный класс будем называть (конечным) вещественным числом и обозначать
a = lim rn. (2)
n —— от
Бесконечность также удобно считать одним из вещественных чисел (но уже не конечных).
Значение rn будем называть приближением а, а a — пределом последовательности rn. Операции с вещественными числами вводятся через операции с их приближениями. Кроме того, по определению считается, что
Рабс + limrn = Ит(Рабс + rn).
П—от П—от
Аналогично вводятся и другие операции.
В случае необходимости в обозначениях вещественных чисел будем использовать индекс «вещ». Например, числа 0абс и 0вещ — это совершенно различные объекты: 0абс — это Абсолютный нуль, который существует изначально, а число 0вещ — это класс эквивалентных между собой последовательностей (1).
Точно так же и число
1вещ = lim 1абс
П—от
принципиально отличается от числа 1абс. Число 1абс задано изначально, а число 1вещ — это соответствующий класс последовательностей. Очевидно, что
1абс ^ 0вещ = 1вещ. (3)
Отсюда, однако, не следует, что
1вещ - 0вещ = 1абс.
На самом деле из (3) следует только равенство
1вещ — 0вещ _ 1вещ. (4)
Образно эту ситуацию можно представить таким образом. Если абсолютное, изначально заданное число попадает в мир вещественных чисел и начинает с ним взаимодействовать, то оно как бы окрашивается от этого взаимодействия и начинает выглядеть уже как обычное вещественное число (результат (3)). Причем никакими «обратными» операциями типа (4) «снять» эту окраску — окраску вещественности — уже невозможно.
2. Принцип стягивающихся отрезков.
Первая аксиома разрешения
Выше мы приняли концепцию вещественного числа по Кантору. Хорошо известны и другие концепции вещественного числа. Все они эквивалентны друг другу. Если говорить формально, то ничего нового они не дают. Меняется только роль основных утверждений. То, что в рамках одной концепции было аксиомой или определением, в рамках другой концепции становится теоремой. Однако для неформального понимания новые определения могут дать многое.
