Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 7

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 124 >> Следующая

Современная теория актуально бесконечно малых получила название нестандартного анализа (иногда ее называют также неархимедовым, инфинитезимальным [61] или робинсоновым нестандартным анализом [62] в честь основоположника нестандартного анализа А. Робинсона). Согласно [49], «.открытие нестандартного анализа состоит в том, что геометрическая прямая, или континуум, может нести в себе множество точек более богатое, чем множество обычных действительных чисел. Это, кроме всего прочего, дает нам подходящие рамки для геометрического анализа физических явлений со многими масштабами».
Методы нестандартного анализа (в их современном виде) являются сравнительно новыми и уже находят применение для исследования различных задач. Результаты по теории нестандартных методов, ее приложениям и дальнейшие библиографические ссылки можно найти в трудах Робинсона, Альбеверио, Белякина, Бернстей-на, Вопенки, Гозе, Гордона, Девиса, Драгалина, Кановея, Кейслера, Кусраева, Кутателадзе, Лаугвица, Линдстрема, Ловягина, Лутца, Люксембурга, Нельсона, Непейводы, Парменова-Зингера, Праздниковой, Строяна, Фенстада, Хуэнг-Крона, Успенского, Шмидена, Энгелера и др. [49, 61-83].
Одно из направлений в этой области связано с использованием р-адических чисел. Теория р-адических чисел и соответствующий неархимедов анализ изложены в трудах Владимирова, Воловича, Зе-ленова, Коблица, Хренникова и др. [84-90]. Здесь также содержится дальнейшая библиография. Необходимо особо отметить, что в работах Хренникова и его последователей рассматриваются многочисленные приложения неархимедова анализа к теории вероятностей, теоретической физике и т.д. В этом направлении открываются также возможности моделирования некоторых функций сознания [91].
Вопросы, которые исследуются в рамках нестандартного анализа, тесно связаны с проблемами континуума, общими представлениями о «догмате натурального ряда», а также с альтернативной теорией множеств и рядом других смежных областей. Здесь опубликовано значительное число работ. Их обзор выходит за рамки настоящей книги.
Ограничимся только ссылками на книгу Пуанкаре [92], статью Рашевского [93], монографию Вопенки со вступительной статьей Белякина [62], а также ссылками на работы [94-97].
4. В настоящей книге* рассматриваются числовые системы, включающие в себя актуальные бесконечно малые величины. Далее на основе одной из возможных систем строится математический анализ. Основное внимание уделено построению рабочего математического аппарата, который можно использовать для создания математических моделей различных явлений, а также для постановки и решения конкретных задач.
Достаточно простые доказательства ряда утверждений опущены.
Буду признателен за отзывы и пожелания, которые можно направлять по
E-mail: revuzhenko@yandex.ru, http://revuzhenko-af.narod.ru или по тел./факсу 8-383-203-35-31.
* * *
Автор выражает благодарность академику РАН В.М. Фомину, докторам физико-математических наук Н.В. Белякину и С.П. Одинцову за ценные обсуждения результатов, кандидатам физико-математических наук С.В. Лаврикову и О.А. Микениной за проведение геомеханических расчетов с использованием методов неархимедова анализа. Искренне признателен Л.П. Большаковой за большой труд по оформлению рукописи.
Особо хотелось бы сказать о роли академика РАН Евгения Ивановича Шемякина**, который проявлял постоянное внимание к данной работе и поддерживал ее на всех этапах выполнения.
* Работа выполнена в Институте горного дела СО РАН и в Сибирском независимом институте при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 99-01-00545-а; 05-05-65253-а; 08-05-00543, № 10-05-91002-АНФа.
** Академик Шемякин Е.И.: Штрихи к портрету http://revuzhenko-af.narod.ru
Глава 1
Вещественные числа. Расщепление вещественных чисел на элементарные составляющие
Первые две главы посвящены построению неархимедовой числовой прямой. Что мы хотим от новой числовой системы? Во-первых, мы хотим, чтобы новая система была пригодна для измерения более широкого класса упорядоченных величин, чем система обычных вещественных чисел. В частности, новая числовая система должна допускать измерение углов касания [1-3]. Во-вторых, она должна быть достаточно богатой, так, чтобы на ее основе можно было развить математический анализ. Кроме того, следуя известному принципу, мы должны принять, что из всех числовых систем, удовлетворяющих сформулированным условиям, предпочтение должно быть отдано такой системе, которая в каком-то смысле будет наиболее близкой к системе обычных вещественных чисел.
Начнем с третьего условия. Согласно этому условию, новая числовая система должна быть как можно ближе к системе обычных вещественных чисел. Поэтому напомним концепцию обычной вещественной прямой.
§ 1. Натуральные, целые и рациональные числа. Число 0
Примем, что натуральные числа
1, 2, 3, 4,...,n,...
и арифметические операции над ними заданы изначально. Операция вычитания приводит к отрицательным числам. Совместно с натуральными они образуют целые числа. Операция деления приводит к рациональным числам.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed