Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что все перечисленные объекты нельзя назвать функциями (а их графики — кривыми) в обычном смысле слова. Для их описания используются различные приемы. Например, о производной подобной «функции» можно говорить в различных смыслах в зависимости от масштаба, в пределах которого берется приращение аргумента. Поэто-
му «функцию» можно характеризовать с помощью двух компонент, каждая из которых представляет собой обычную гладкую функцию. Первая компонента и ее производные характеризуют «функцию» в среднем, вторая — производные «функции» на микроуровне [4, 9, 32, 33].
В механике сплошной среды данному подходу соответствует класс математических моделей с внутренними переменными. Указанные переменные описывают дополнительные степени свободы, которые реализуются на микромасштабных уровнях [16, 19, 22, 35-37].
Таким образом, некоторое описание новых объектов можно получить в рамках традиционного математического аппарата путем введения дополнительных переменных. Однако дальнейшие построения порождают новые вопросы. Например, что следует понимать под квадратом указанной «функции», ее интегралом, длиной «кривой», которая соответствует графику «функции» и т.д.? Попытки разрешения указанных вопросов приводят к необходимости наделить структурой саму независимую переменную, а значит, к изменению математического аппарата.
2.3. Задачи с иерархией масштабных уровней. Разрешающая способность классического анализа ограничивается Первой аксиомой разрешения или равносильной ей аксиомой Архимеда. Напомним ее содержание.
Если имеется два положительных вещественных числа а и b, причем а < b, то всегда найдется такое натуральное число N, что значение Na превзойдет значение b, т.е.
0 < а < b, Na > b. (3)
Не будем торопиться с признанием «очевидности» этой аксиомы. Подобная «очевидность» навязана только опытом работы с обычными вещественными числами. В случае преодоления ограничения, связанного с указанной аксиомой, нас ожидают качественно новые возможности.
Действительно, что означает аксиома Архимеда? Она означает следующий простой факт. Если мы выбираем любой шаг, с которым хотим продвигаться вперед, то, шагая таким образом вдоль числовой прямой, мы рано или поздно или, лучше сказать, всегда достигнем любого пункта на нашем пути.
Необходимо сделать только одну оговорку относительно числа 0. Смысл ее станет ясным, если аксиому Архимеда сформулировать несколько иначе: для любого положительного числа а и любого числа b > а найдется такое натуральное N, что
а > 0, b > а, — < а. (4)
N
Из этой формулировки следует, что, отправляясь от любого числа b > а способом (4), мы можем добраться до любого сколь угодно малого числа а. До любого числа, кроме 0. Поэтому число 0 на вещественной оси следует считать особым.
Итак, двигаясь вдоль оси способом (3) или (4), можно достичь любой точки на прямой (кроме точки 0). Об этом факте можно сказать по-другому: при указанном способе движения никаких непреодолимых препятствий на нашем пути не имеется. Можно принять, что все точки вещественной оси (кроме 0) относятся к одному масштабному уровню.
Как изменится эта картина, если снимем ограничения, которые диктуются аксиомой Архимеда? Тогда, отправляясь от заданной точки с фиксированным шагом, некоторые точки на прямой мы достигнем, а некоторые останутся принципиально недостижимыми. Последнее означает, что мы имеем определенную иерархию масштабных уровней на неархимедовой прямой. Уже сам по себе этот факт указывает на большую адекватность неархимедовой, а значит, и многомасштабной прямой по сравнению с обычной одномасштабной.
Действительно, наличие иерархии является наиболее универсальным свойством реального мира. Иерархию мы наблюдаем во Вселенной, природе, сообществах животных, человеческом обществе, строении растений, живых существ, материи и т.д. Иерархичность необходима для самого существования сложных систем. Везде царит принцип иерархии и подчинения.
Работы последних десятилетий показывают, что эта общая закономерность простирается и на процессы деформирования твердых тел, горных пород и сыпучих материалов [38-48]. Иерархия строения и функционирования сложных систем приводит к появлению у них целого ряда масштабных уровней. Основное средство их теоретического изучения — математические модели. Адекватные модели и математический аппарат, который лежит в их основе, должны отражать основное свойство реальных объектов — наличие в них различных масштабных уровней. Неархимедовы числовые системы это свойство отражают [49]. Можно ожидать, что и математические модели, построенные на их основе, будут более адекватными реальности, чем модели, построенные в рамках классического аппарата.
2.4. Традиционные задачи механики. Если мы имеем микроскоп, обладающий большим разрешением, чем прежний, то вполне естественно направить его на объекты, которые были исследованы раньше, но с меньшим разрешением. Всегда есть шанс обнаружить что-нибудь новое. Естественно сделать подобный шаг и по отношению к традиционным задачам механики и анализа.
