Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
точками а и b меньше, чем 1/и, где n — любое число из натурального ряда
1,2,3,4,... n,..., (1)
то точки а и b различить между собой невозможно. Иначе это звучит так: если два вещественных числа а и b таковы, что
|а - b I < 1/n, (2)
то а = b.
Для краткости классический анализ будем называть анализом-1, а положение (2) — Первой аксиомой разрешения. При аксиоматическом построении теории данное положение действительно можно ввести как независимую аксиому, равносильную аксиоме Архимеда.
Из (2) следует, что если придать какой-то смысл длине натурального ряда (1), то длина будет мерой разрешающей способности классического анализа. Поэтому любое увеличение разрешающей способности теории должно предполагать и увеличение длины натурального ряда. Ясно, что такое увеличение возможно только за счет построения новых объектов, которым можно приписать величину, большую величины любого натурального числа из ряда (1). Такие объекты называются актуальными бесконечно большими числами, а величины, обратные им, актуальными бесконечно малыми числами.
2. Основания для построения анализа с большим разрешением, чем классический. Есть ли смысл заниматься увеличением степени разрешения (1), (2)? Есть ли в этом реальная потребность?
2.1. Задача измерения касательных (роговидных) углов. Оказывается, что такая потребность не только есть, но без преувеличения можно сказать, что она была всегда. Если открыть третью книгу «Начал» Евклида [1], то в предложении 10 можно прочитать: «...угол полукруга больше всякого прямолинейного острого угла, а остаток меньше». Остаток угла полукруга — это угол s между прямой и касательной к ней дугой окружности, прямолинейный угол — угол e между двумя лучами (рис. 1).
Согласно предложению 10, касательный угол представляет собой положительную величину, которая меньше любого положительного рационального числа е. Таким образом, угол касания (или роговидный угол) — это не что иное, как актуальная бесконечно малая величина. Причем между величинами такого рода есть свой порядок: большему радиусу R отвечает меньший угол касания t. Далее путем выбора кривой касания можно построить углы, меньшие угла, соответствующего любому радиусу R, и т.д. [2, 3]. Следовательно, можно сказать, что для измерения указанной упорядоченной системы величин точности обычных вещественных чисел уже недостаточно.
Итак, необходимо введение новой числовой системы, которая включала бы в себя актуальные бесконечно малые величины. Последнее влечет за собой необходимость изменений в соответствующем математическом аппарате. Необходимость в подобных изменениях возникает также и в прикладных задачах теории пластичности, механики горных пород и теории оптимального управления.
2.2. Прикладные задачи. Начнем с задач теории пластичности, так как именно они привели автора к необходимости использования в механике неархимедовой числовой системы и соответствующего математического анализа [4-30]. Пусть некоторое твердое тело подвергается простому сдвигу. Ограничимся плоской деформацией. Обозначим через x, у — декартовы координаты, а через u, v — компоненты вектора смещения.
На рис. 2, а показана начальная форма тела, на рис. 2, б — его конечная форма после сдвига.
Рис. 2.
—> скольжения структурных элементов х тела так, как это показано на рис. 3.
Тело в целом похоже на колоду карт. Каждая карта испытывает свой
j u = tg g у, v = 0, g = const.
Обратимся к внутреннему механизму сдвига. Один из возможных механизмов такого сдвига связан с тем, что он осуществляется за счет
Соответствующее поле перемещений можно представить в виде
0
Рис. 3.
сдвиг ge и, кроме того, все карты скользят друг по другу.
О таком профиле смещений можно сказать следующее. При взгляде на него невооруженным глазом профиль выглядит как непрерывная и дифференцируемая кривая. Однако если посмотреть на него через микроскоп, то станут видны мелкие ступеньки (микроразрывы). Возможно, что дальнейшее увеличение обнаружит еще один уровень разрывов и т.д.
Интересно отметить, что необходимость в использовании подобных функций возникает и в теории обработки металлов давлением. Так, в [31] рассматриваются пути нагружения, которые позволяют достичь заданных деформаций тела при наименьших затратах энергии. Показано, что траектории нагружения должны включать в себя вертикальные отрезки, которым соответствует «ударная, ковочная» деформация. При этом деформации должны носить пульсирующий характер: чем больше частота пульсаций, тем меньше общая работа. В пределе переключения должны осуществляться с бесконечно большой частотой.
Аналогичные решения возникают и в теории управления полетом летательных аппаратов [32, 33]. Еще одна иллюстрация связана с поиском оптимальных траекторий движения парусника галсами против ветра. Целый класс подобных задач приводит к необходимости оперирования траекториями, в которых частота переключения бесконечно велика. То есть локально траектория состоит из исчезающе малых отрезков, которые с изломами выстилают обычные гладкие кривые [34].
