Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 18

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 124 >> Следующая

связаны между собой оператором форсирования Ffi
B = FfA.
Будем говорить, что число В получено форсированием числа А. Функция f (n) однозначно характеризует оператор Ff. Будем называть ее характеристической функцией оператора. Индекс f, как правило, опустим. Очевидно, что a(f (n)) является подпоследовательностью последовательности a (n). Наличие операторов форсирования вносит дополнительный порядок в скопление элементарных чисел, из которых состоит вещественное число. Теперь в этом скоплении можно устанавливать цепочки «родственных» отношений
A, FfA, (Ff )2A,...(Ff)nA,... , (6)
где (Ff)n — произведение операторов.
Дополнительные возможности открываются в связи с тем, что между самими операторами форсирования можно установить частичный порядок. Примем, что оператор Fg следует за Ff (или сильнее, чем оператор Ff), если f (n) < g (n) для любого n. Данный факт можно отмечать записями Ff < Fg или Fg > Ff. Далее достаточно ограничиться только монотонными последовательностями a (n).
Для таких последовательностей оператор форсирования приводит только к увеличению скорости их сходимости. Но если оператор применить к стационарной последовательности, то характер сходимости не изменится. В этом смысле можно сказать, что здесь мы с самого начала имеем самую большую скорость сходимости (то есть
скорость является настолько большой, что любое форсирование увеличить данную скорость уже не может).
Таким образом, задачу поиска ядра числа евещ можно сформулировать следующим образом: ядро следует определить так, чтобы применение к нему оператора форсирования оставляло бы ядро без изменения.
Перейдем к решению. Возьмем произвольный элемент из соста-
ва числа евещ, например Lim
1 + I
. Выберем оператор форсирова-
ния с характеристической функцией f (n) = n + 1 и образуем цепочку элементарных чисел вида (6):
Lim
П
1 + 1
< Lim
1 +
n + 1
П+1
<... < Lim
1 +
П+ k
<...
(7)
В состав числа евещ входит также элемент B = Lim
1 + — 2 n
2n
. Однако
продолжить цепочку (7) до этого числа невозможно. Сколько бы раз мы ни применяли оператор с характеристической функцией f (n) = n + 1, мы всегда будем получать элемент меньший, чем B. Для того чтобы перейти к B, сменим оператор форсирования на более сильный Fg: положим g (n) = 2n. Продолжим цепочку (7) по образцу (6). Затем перейдем к операторам с характеристическими функциями P(n) = 3n,...n2,...nn... . В результате получим монотонно возрастающую последовательность, занумерованную числами из продолженного натурального ряда:
Lim
n
1 + I
< Lim
n
1 +
1
n + 1
n+1
< ... <
< Lim
n
<...< Lim
n
1 +
v (n)
v(n)
(8)
<...
С увеличением «натурального» номера v = Limv (n) будем получать все большие числа (8). При этом каждому из них будет соответствовать все большая скорость сходимости соответствующей последовательности, сходящаяся к вещественному числу евещ:
lim
1 +
1
v(n)
=e
n
n
n
n
2
n
1
С другой стороны, монотонно возрастающая последовательность (8) ограничена сверху числом 3. Здесь сама собой напрашивается следующая идея: определить ядро неперова числа как некоторый «предел» монотонной ограниченной последовательности элементарных чисел (8). Это, пожалуй, центральное место всех построений.
Основная трудность состоит в том, что искомый предел не может быть никаким элементарным и тем более вещественным числом. Следовательно, это должно быть число новой природы. Перейдем к его описанию.
Прежде всего рассмотрим альтернативу процедуре форсирования последовательностей. Для этого нам понадобится одно новое понятие — понятие непрерывного продолжения последовательностей.
Пусть задана последовательность абсолютных рациональных чисел: a(n), n = 1,2,3.... Ранее мы продолжили натуральный ряд вправо на бесконечно большие значения чисел
1, 2, 3,... w, w + 1,...w2,...ww—
Теперь мы пришли к необходимости и в соответствующем продолжении любой последовательности a (n). В частности, мы пришли к следующему вопросу: если задан ряд значений a(n) при n = 1,2,3..., то что следует понимать под значением а^)? Ясно, что как и при любой экстраполяции функций о значении а^) сказать ничего определенного заранее нельзя. Однако вопрос можно поставить по-другому: можно ли из всех возможных вариантов продолжения а^) выбрать один, в каком-то смысле самый естественный? Безусловно, такой вариант есть. Это следующий:
а^) = Lim а(^. (9)
n
Так как w = Lim n, то (9) можно записать в форме
n
а^т n) = Lim а^). (10)
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed