Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
а также другие «рациональные» бесконечно малые числа, например
av = pm, av > pm, av < bm.
0 < |p - p'| < g.
(20)
1 1 1 1
w’ w + 1’ w2 ’ ww
(1)
w + 2, w2 - w + 7 w - 1
(2)
2 - ’ 10 3 1 ’ w ’"'
w - 7 w - w + 1 w + w
В-третьих, можно выделить бесконечно малые числа, которые нельзя отнести к «рациональным», но которые связаны с «рациональными» числами и характерным числом j:
Рассмотрим вопрос о порядке, который имеет место среди различных составляющих числа 0вещ. Прежде всего отметим, что между «рациональными» числами (1), (2) линейный порядок есть всегда. Поэтому их можно представить расположенными на оси, в центре которой находится нуль (рис. 1.1).
Далее легко заметить, что между числами (3) и (2) линейного порядка нет, а есть только частичный порядок: некоторые числа сравнимы между собой, а некоторые не сравнимы. Например, числа j E и 0эл не сравнимы. Однако в любом случае, если в состав 0вещ входит число А, то входит и число (-А). Причем их полусумма равна 0эл. Это дает основание для того, чтобы число 0эл назвать абсолютным ядром вещественного числа 0вещ и считать, что абсолютное ядро находится в центре числа 0вещ. («Абсолютный» указывает на то, что число
(3)
w + j
Здесь, как и прежде,
j = Lim(-1) "+1
n
представляет собой одну из двойных единиц: j2 = 1, j ф +1, j ф -1.
0эл = Lim0абс определено через стационарную последовательность абсолютных чисел.)
\
У
Рис. 1.1.
Совокупность остальных элементарных чисел из состава 0вещ будем называть ореолом абсолютного ядра. Ясно, что если ореолу принадлежит число А, то ему принадлежит и число r ¦ A, где r — любое отличное от 0, абсолютное рациональное число. Таким образом, ореол представляет собой лучи, исходящие из центра — абсолютного ядра. Пусть A1, A2... An — числа ореола. Если r1, r2... rn — абсолют-
ные рациональные числа и равенство r1A1 +... + rnAn = 0 возможно только при r1 = ... = rn = 0, то элементарные числа будем считать линейно независимыми. Далее можно поставить вопрос о базисе и размерности пространства, в которое превратилась точка вещественной прямой. Ясно, что это пространство является бесконечномерным.
Абсолютные ядра и ореолы других вещественных рациональных чисел определяются аналогично и обладают той же структурой, что и ЧИСТО 0b^.
Если элементарные числа принадлежат ореолу одного и того же абсолютного ядра, то между ними есть только частичный порядок. Однако если говорить об ореолах различных вещественных чисел, то между их составляющими линейный порядок всегда есть. Проще говоря, если рабс < g абс, то данное отношение сохраняется и для любых пар элементарных чисел, входящих в состав чисел рвещ и gвещ.
2. Ореолы и ядра вещественных чисел
Ореолы и ядра иррациональных чисел. Для определенности остановимся на неперовом числе евещ.
Как определить ядро числа евещ? Ясно, что та идея, которая использовалась для рациональных чисел, здесь не проходит, так как среди элементарных чисел, которые входят в состав евещ, невозможно выделить какое-то одно число, которое чем-то принципиально отличалось бы от других чисел. Поэтому необходимо вернуться к определению абсолютных ядер рациональных вещественных чисел, найти какой-то их формальный признак и затем уже на этой основе попытаться дать определение ядра иррационального числа.
1'
Возьмем, например, число
3
V*-' У веш
. В его ореол входят два эле-
ментарных числа A < B, которые соответствуют последовательностям А:0,3; 0,33; 0,333; ...0, 3.^3;...
n
------------------------------------- (4)
B:0,33; 0,333; 0,3333; ...0, 3...3;... .
П+1
3
V*-' У вещ
соответствует стационар-
Самому же абсолютному ядру числа ная последовательность
ГА ГА
. (5)
' 1Л ' 1Л ' 1Л
V 3^ абс V 3, а V 3^ а
о> о>
о о
Две последовательности (4) отличаются друг от друга скоростью сходимости: чем скорость сходимости больше, тем ближе элементарное число находится к ядру (5). Самому же ядру соответствует «самая большая» скорость сходимости, которой обладает последовательность (5). Поэтому нашу проблему можно поставить таким образом: необходимо формализовать представление о «самой большой» скорости сходимости (5) и затем воспользоваться данным представлением для описания ядер иррациональных чисел.
Это можно сделать с помощью оператора форсирования. Дадим его определение.
Определение 4.1. Пусть m = f (n) — монотонно возрастающая функция натурального аргумента n = 1, 2, 3... такая, что ее значения m — конечные натуральные числа ит > n Примем по определению, что элементарные числа
A = Lim a (n), B = Lim a (f (n))
n n
