Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, шкала (16) числа 0,5w и 0,7w совсем не различает, хотя разница между ними составляет бесконечно большое число, равное 0,2w.
По мере продвижения вправо ко все большим «натуральным» числам неравномерность шкалы только возрастает. На ней по-прежнему остаются участки, позволяющие локализовать число с точностью до единицы, например участок
w2, w2 + 1, w2 + 2—
Есть и участки типа (17):
w2 + 1,... w2 + n,... w2 + w,--
Однако появляются участки, еще более неравномерные, чем указано выше. Например, участок
nw,..., w2,--
Попытаемся локализовать числа 0,5w2 и 0,7w2. Для обоих чисел мы получаем один и тот же интервал:
nw + g < 0,5w2 < w2,
nw + g < 0,7w2 < w2,
где n, p, g — любые конечные натуральные числа. Здесь уже шкала не различает числа порядка w2. Нетрудно понять, что правее в «натуральном» ряде будут встречаться участки, где невозможно различить числа порядка w3, w4,...wn,...ww... и т.д. и т.д. В этом принципиальное отличие «натурального» ряда бесконечных чисел от натуральных конечных чисел.
Более образно об этом можно сказать так. Предположим, что мы располагаем средством передвижения, способным двигаться с шагом, равным единице. Тогда, если мы добрались до отметки на шка-
ле номер N, у нас есть полная уверенность, что мы доберемся и до отметки N + 1, 2N, N2, Nn и т.д. Для нас доступны любые точки нашей шкалы. В этом смысле можно сказать, что натуральный ряд конечных чисел является одномасштабным. (Все точки одинаково доступны, или, говоря по-другому, все точки находятся на одном уровне доступности.)
В случае ряда бесконечных чисел ситуация будет другой. Двигаясь указанным способом из отметки N, мы можем добраться до Nn, но добраться до отметки w мы не можем в принципе. В этом смысле можно сказать, что номера Nn и w разделены пропастью (или барьером). Неравенство (18) дает основание для того, чтобы оценку ширины этой пропасти оценить как w минус любое конечное натуральное число. Конечное число будем отбрасывать. Тогда можно говорить
о ширине пропасти, равной w (или барьере высотой w).
Предположим теперь, что мы располагаем средством передвижения на шаг, равный единице, и способом преодоления барьера высотой w. Тогда для нас будут доступными точки
1, 2,... n,... w,...2w,... n ¦ w, nw + 1... .
Однако точка w2 остается недоступной. Для ее достижения потребуется преодолеть барьер w2 и т.д. Имея в виду это свойство, будем говорить, что «натуральный» ряд является многомасштабным.
7. «Целые» и «рациональные» элементарные числа
Определение 3.10. Элементарное число называется «целым», если оно представляет собой разность двух «натуральных» чисел.
Определение 3.11. Элементарное число называется «рациональным», если оно равно отношению двух «целых» чисел.
Во многом «рациональные» числа похожи на обычные рациональные числа. Они обладают следующими свойствами:
10. Между «рациональными» элементарными числами есть линейный порядок. Так, если
а и
Р1 =-, Р 2 = - > b v
то числа р1 и р 2 находятся в одном и только одном из отношений:
Р1 = Р2; Р1 > Р2, Р1 < Р2. (19)
Действительно, пусть числа a, b, m, v и, значит, числа a ¦ v, b ¦ m являются «натуральными». Поэтому числа a ¦ v и b ¦ m между собой
сравнимы и условия (19) однозначно определяются следующими условиями:
Случаи, когда числа a, p, m, v — «целые», рассматриваются аналогично.
20. Совокупность «рациональных» чисел замкнута относительно операций сложения, умножения и деления (деление на 0 исключается).
30. Совокупность «рациональных» чисел можно назвать плотной в том смысле, что для любого «рационального» числа p всегда можно найти другое «рациональное» число p', которое отличается от p на любое сколь угодно малое бесконечно малое «рациональное» и наперед заданное число g > 0:
Данное свойство следует из свойства плотности «натурального» ряда. Точнее было бы сказать по-другому: «натуральный» ряд элементарных чисел строился именно таким образом, чтобы «рациональные» числа обладали свойством (20).
§ 4. Внутренняя структура точки на вещественной числовой прямой
Точка на вещественной числовой прямой — это вещественное число. Вещественные числа состоят из элементарных чисел. Между последними есть частичный порядок. Поэтому можно поставить вопрос о внутренней структуре вещественного числа и, значит, о внутренней структуре точки на вещественной прямой.
1. Ореолы и абсолютные ядра рациональных вещественных чисел
Возьмем для примера число 0вещ. Данное число состоит из элементарных «частиц» Lim rn таких, что lim rn = 0вещ. Нельзя сказать,
что в своей совокупности они представляют собой «безликую» массу. Среди них, во-первых, выделяется элементарное число нуль 0эл = Lim0абс. Во-вторых, выделяются числа, обратные бесконечно большим «натуральным» числам:
