Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 15

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 124 >> Следующая

Для теоретических построений представляет интерес неограниченное продолжение натурального ряда. Процесс развертывания такого ряда похож на процесс построения трансфинитных чисел второго числового класса [105]. Есть, однако, и различия. Главное из них состоит в том, что для построения ряда у нас в арсенале имеется гораздо больше средств, чем для построения трансфинитных чисел. Число w = Lim n не есть число, непосредственно следующее за числами 1, 2, 3... . За этими числами следуют также числа ...(w - 3), (w - 2), (w - 1). Природа числа w = Lim n гораздо ближе к природе конечных чисел, чем природа наименьшего трансфинитного числа. Поэтому для продолжения натурального ряда вместе с числом ю можно использовать также числа (w - 1), (w - 2),..., w!, 2w, 10w, ww-1 и т.д. С другой стороны, не весь этот арсенал нам необходим для построения «натурального» ряда. Можно рассмотреть ряд, в котором числа вида (w - 1), w! и другие, подобные им, не используются. В результате мы придем к неограниченному «натуральном» ряду, запись которого совпадает с записью натурального ряда, продолженного в область трансфинитных чисел [105]. Различие будет состоять только в смысле символа w. В [105] w — это наименьшее трансфинитное число, здесь w — класс эквивалентности Limn. На мощности множества «натуральных» чисел последнее обстоятельство никак не сказывается. Поэтому утверждение о том, что множество трансфинитных чисел имеет первую несчетную мощность, можно перенести и на неограниченный «натуральный» ряд. Кроме того, к данному ряду можно отнести также и следующее замечание Н.Н. Лузина: «Мы видим, какая имеется громадная разница между натуральным рядом и последовательностью трансфинитных чисел. Но за всем тем, если мы сделаем гипотезу о существовании всех рассматриваемых трансфинитных чисел, мы сможем рассуждать над ними без того, чтобы уметь определять и обозначать их все» [105].
Следует, однако, отметить, что для построения неархимедова анализа и решения многих задач «необозримость» несчетного «натурального» ряда не составляет большого препятствия. Точно так же, как и «необозримость» континуума действительных чисел не является препятствием для вычисления определенных интегралов от функций действительного переменного.
В заключение уточним терминологию. Классический анализ базируется на концепции вещественного числа, которая, в свою очередь, определяется натуральным рядом
1,2,3... n,.... (14)
Неархимедов анализ опирается на ряд (14), продолженный в область бесконечных чисел:
1, 2,3...,w,...v,.... (15)
Для удобства классический и неархимедов анализы назывались анализом-1 и анализом-2. На этом основании рядам (14), (15) будем приписывать тип 1 и 2.
В тексте будем использовать также названия, которые отражают главное различие в рядах (14) и (15). Оно состоит в том, что ряд (15) качественно длиннее, чем ряд (14). Поэтому ряд (14) будем называть счетным, а ряд (15) — несчетным. Такие же названия будем использовать и для последовательностей, занумерованных числами (14) или (15). Если взять неограниченную версию «натурального» ряда (15), то принятые названия соответствуют и теоретико-множественным характеристикам рядов (14), (15).
Чтобы излишне не усложнять терминологию, оставим те же названия и для ограниченной версии ряда (15) на том основании, что и в этом случае ряд (15) качественно длиннее, чем ряд (14). Тем более что основные результаты от выбора конкретной версии ряда (15) зависеть не будут. Последние аргументы приведены в связи с тем, что с теоретико-множественной точки зрения ограниченный ряд (15) является счетным.
6. Неравномерность шкалы
актуальных бесконечно больших натуральных чисел
С помощью конечных натуральных чисел любое рациональное число можно локализовать с точностью до единицы. Поэтому конечные натуральные числа можно представить себе как отметки на некоторой измерительной шкале (линейке). Отметки расположены с шагом, равным единице. Причем этот шаг одинаков на всех участках шкалы. Например, он равен 1 как на участке от 1 до 10, так и на участке от 1023 до 1023 + 10.
Обратимся теперь к области бесконечных чисел. Возьмем для определенности отрезок ряда
1,2,3,...w, w + 1,...,w + n,... . (16)
Посмотрим теперь, в какой степени шкала (16) локализует число w + 2,7.
Очевидно, что
w + 2 < w + 2,7 < w + 3. (17)
Следовательно, на этом участке шаг линейки равен 1.
Возьмем теперь число и = 0,5w. Здесь ткала (16) дает только следующую степень локализации:
N < 0,5w < w, (18)
где N— любое сколь угодно большое, но конечное натуральное число. Степень локализации здесь качественно хуже, чем в случае (17). Там шаг между делениями был равен 1, а здесь он равен (w - N). Достаточно сказать, что для числа и = 0,7w шкала (16) дает ту же самую оценку, что и для числа 0,5w:
N < 0,7w < w.
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed